第03讲：轴对称-2023-2024学年八年级数学寒假同步精讲精练系列（人教版）

第03讲：轴对称 【考点梳理】 考点一：轴对称的性质 考点二：轴对称几何变换 考点三：垂直平分线问题 考点四：等腰三角形判定和性质 考点五：等边三角形的判断和性质 考点六：30°的直角三角形问题 考点七：等（腰）边三角形的综合问题 考点八：等（腰）边三角形的压轴问题 【知识梳理】 知识一：轴对称 （1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； （2） 两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； （3） 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； （4） 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于 这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识二：垂直平分线 （5） 垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； （6） 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； （7） 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； （8） 对称的两个图形是全等的； （9） 垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （10） 逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 知识三：作轴对称图形 （1） 作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图 形的轴对称图形；（注意取特殊点） （2） 点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为：（x , -y）; 点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为：（-x , y）; 知识四：等腰三角形 （1） 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； （2） 等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴） （3） 等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 知识五：等边三角形 （4） 等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） （5） 等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； （6） 等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） （7） 等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 知识六：直角三角形 （8） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 【题型归纳】 题型一：轴对称的性质 1．下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（    ）    A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 3．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 题型二：轴对称几何变换 4．如图，在的面积是，的垂直平分线分别交，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（　　）    A．7 B．9 C． D． 5．如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 6．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，且，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 题型三：垂直平分线问题 7．如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③