22.3.1 实际问题与二次函数——几何问题 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

22.3.1 实际问题与二次函数 ---几何问题 （探究） 第二十二章 二次函数 1.会求 y = ax2 + bx + c 的最大（小）值. 2.能从实际问题中抽象出二次函数关系，并应用二次函数的性质解决几何图形中的最大（小）值问题. 学习目标 写出下列抛物线的顶点坐标和最值. (1) y=x2-4x-5；(配方法) (2) y=-x2-3x+4.(公式法) 解：(1) y = x2-4x-5 = x2-4x+4-9 = (x-2)2-9. 顶点坐标：(2，-9)； 最小值：-9. (2) y=-x2-3x+4 中 a=-1，b=-3，c=4， 顶点坐标：(，)，即(，)； 最大值： . 知识回顾 一、求二次函数的最大 (或最小) 值 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0 ≤ t ≤ 6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 新知学习 t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h = 30t - 5t 2 (0 ≤ t ≤ 6) 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分． 思考 当 0 ≤ t ≤ 6时，小球运动中的最大高度就是在求二次函数的 ？也就是图象中 的纵坐标，此时的运动时间对应函数图象的 _____ . 最大值 顶点 顶点的横坐标 方法一：配方法 ∴t=3时，hmax=45. 所以小球运动时间为3 s时，小球最高， 小球运动中的最大高度为45 m. ∵h=30t-5t 2=-5(t 2-6t)=-5(t -3)2+45， 追问 如何求出小球的最大高度？ 方法二：公式法 所以小球运动时间为3 s时，小球最高， 小球运动中的最大高度为45 m. ∵h=30t-5t 2 h = 30t - 5t 2 (0 ≤ t ≤ 6) 思考1 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是多少？ 思考2 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？ 先判断 是否在限定范围内，再结合图象确定最值 二、二次函数与几何图形面积的最值 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ 问题① 面积S关于l的函数关系式是什么？ S = (30-l)l = -l2+30l 问题② 求自变量 l 的取值范围？ (0 < l < 30) 问题③：结合自变量的取值范围，如何求出使S最大的l值． S＝l(30－l)， S＝－l 2＋30l (0 < l < 30)． 当 l 是 15m 时，场地的面积 S 最大． 解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长为 m． 当l＝ 时，S 有最大值 变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考 这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？ ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 解：设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x . ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∴14≤x＜30. 60 − 2x≤32， x＞0 60 − 2x＞0 60 - 2x x x ∵ S = −2x2＋60x ③ 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值， S最大值 = 450 m2. (14≤x＜30) 60 - 2x x x 解：设垂直于墙的一边长为 x m， 由 (1) 知 S = −2x2＋60x ∴21≤x＜30. 60 − 2x≤18， x＞0 60 − 2x＞0 观察取值范围，你有什么发现？ 变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ O x y 30 21 ∵ 15＜21， x = 15 ∴ 当 21≤