课时检测训练19 构造函数证明不等式-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版）

课时检测训练19 构造函数证明不等式 >对应各案P493 1.(2023·新高考全国Ⅱ卷节选)证明：当0<x<1:3.(2022·山西太原·二模)已知函数f(x)=1nx 时，x-x<sinx<x. 元，g(x)=e+sinx其中a∈R. (1)试讨论函数f(x)的单调性： (2)若a=1,证明：f(x)<2 2.(2023·陕西减阳·染考一模)已知函数f(x)= sin(x∈R. 4.(2023·湖北武汉高三模拟)已知函数f(x)=e -x十acos a. (1)求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (1)若函数f(x)在[0，x]上单调递增，求a的取 (2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x. 值范围： (2)证明：当a≥1时，f(x)>xlnx十1-a.. 265 课时检测训练·数学·RJA-e?+l≤0, (-2,+～)上恒成立， 令g(x)=1n(2x+1)+ax-e2+1,则g(0)=0. 整理得2m(x+1)e?≥x2+4x+2, 当x=-1时，O≥-1显然成立； 当-2≤x<-1时，2m<12, 令h(x)=, g(x)=zx2T+a-e,所以g((0)=a+1. 所以8^(x)=-C?a+1T-C<0,所以g(x)在[0,+≈]上 单调递减. ①当a+1≤0,即a≤-1时，g'(x)≤g'(0)≤0, (x)=(2x+4)(x+1)e'-(x*+4x+2)(x+2)c (x+1)2e*.所以g(x)在(0,+～)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0,符合题意； ②当a+1>0,即a>-1时，g'(0)=a+1>0, 当-2≤x<-1时，h'(x)≥0,h(x)单调递增，则h(x)≥ 又当 x→+心时，g'(x)→一～,所以3x?∈(0,+), h(-2)=2e2,故2m≤2e2,即m≤e2;g'(x?)=0. 当x>-1时，2m≥2,所以当x∈(0,x?)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,x?)上单 调递增. 由上知，当-1<x<0时， h'(x)>0,h(x)单调递增；当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调 递减， 所以g(x?)>g(0)=0,不符合题意. 所以实数a的取值范围为(—～,-1). 则h(x)≤h(0)=2,故2m≥2,即m≥1. 3.解 (1)由题意，得f(x)=x2-ax-2≤0在(0,1)上恒 成立， 综上可得，m∈[1,e2]. 课时检测训练19 构造函数证明不等式 即a≥2=x-之，设g(x)=x-2,,易知φ(x)在 1.证明 构建F(x)=x—sinx,x∈(0,1),则F'(x)=1-cos x >0对Vx∈(0,1)恒成立， (0,1)上单调递增， 则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)=0, 所以x>sinx,x∈(0,1); ∴g(x)mw=φ(1)=-1,∴a≥-1. (2)由题意，得g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x+2x 构建G(x)=sinx-(x-x2)=x2-x+sinx,x∈(0,1), 则G'(x)=2x-1+cosx,x∈(0,1),-去. 构建g(x)=G'(x),x∈(0,1),则g'(x)=2-sinx>0对Vx所以g'(x)=(x-a)(x-sinx), 令h(x)=x-sinx,则h'(x)=1-cos x≥0, 故h(x)在R上单调递增. ∈(0,1)恒成立， 则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)=0, 即G'(x)>0对Vx∈(0,1)恒成立，因为h(0)=0,故x∈[0,a]时，h(x)>0, 则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(O)=0, 所以 sinx>x-x2,x∈(0,1). 综上所述，x-x2<sinx<x. x-a≤0,所以g'(x)≤0在[0,a]上恒成立， 1 所以g(x)在[0,a]上单调递减，g(x)m=g(0)=-a- 2 <aln a-2-a, 即 alna-F++≥0. 令u(a)=aln a-号+号， 2.解 (1)由题知，f(O)=0,f(x)=ostsinx, 所以切点为(0.0),斜率为f(0)=n-1, 所以所求切线为x-y=0.,则u'(a)=lna—a+1,故u”(a) t≤xce[0,r]=xe(2)证明：f(x)≤x(x∈[0,π]),即 -sin x≥0(x∈[0,π]). =1a=0>a=1, 当0<a<1时u”(a)>0; 令g(x)=xe1-sinx,x∈[0,π],则g'(x)=e?+xe2-cosx, 令h(x)=e?+xe?-cosx,x∈[0,π],则h'(x)=2e?+xe?+ sinx>0在x∈[0,π]上恒成立， 当a>1时，u”(a)<0.故u'(a)m=u'(1)=0,即u'