平行线模型讲义2023-2024学年人教版七年级数学下册

平行线模型 万能方法：过拐点作平行线，几个拐点就作几条平行线。 模型1：M型（猪蹄型） 1、 基础模型 见猪蹄，最大角等于小角之和 （1）如果：AB∥CD 则有：∠BOC=∠B+∠C 证明：过点O作EF∥AB ∵AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠B+∠1，∠C=∠2 ∴∠1+∠2=∠B+∠C 即∠BOC=∠B+∠C （2）如果：∠BOC=∠B+∠C 则有：AB∥CD 证明：过点O作EF∥AB， 则∠B=∠1 ∵∠BOC=∠1+∠2， ∠BOC=∠B+∠C ∴∠C=∠2 ∴EF∥CD 又∵EF∥AB ∴AB∥CD 2、 拓展模型 （1） 如图，AB∥CD 则有 ∠(∠B+∠C)=180° （2） 如图，AB∥CD 则有 ∠…(∠B+∠C) =(n-1)x180° 3、 经典案例 例1.如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β一定满足的是（ ） A.∠α+∠β=180° B.∠α+∠β=90° C.∠β=3∠α D.∠α-∠β=90° 解析：这里隐藏了一个猪蹄模型 根据猪蹄模型的结论： 可知，∠1+∠β=∠BCD=90° ∴∠1=90°-∠β ∵∠1+∠α=180° ∴90°-∠β+∠α=180° ∴∠α-∠β=90° 解题通法： 题目条件中平行线有拐点出现,可以过拐点作平行线,从而 利用平行线的性质得出相等的角,再通过等量代换,得出角度关系. 模型2：铅笔头模型 1、基础模型 见铅笔头，三个角之和为360° （1） 如果，AB∥CD 则有，∠B+∠BOC+∠C=360° 证明：过点O作EF∥AB ∵AB∥CD ∴EF∥AB∥CD ∴∠B+∠B0E=180° ∠C+∠E0C=180° ∴∠B+∠B0E+CC+4E0(=360 ∴∠B+∠B0C+∠C=360° （2） 如果，∠B+∠BOC+∠C=360° 则有，AB∥CD 证明：过点O作EF∥AB 则∠B+∠B0E=180° ∵∠B+∠B0C+∠C=360° ∴∠C+∠EOC=180° ∴EF∥CD 又∵EF∥AB ∴AB∥CD 2、拓展模型 （1）如果，AB∥CD 则有：∠(∠B+∠C)=3X180° （2）如果：AB∥CD 则有：∠…++(∠B+∠C) =（n-1）x180° 3、经典例题 例2.已知：AB∥CD，∠B=150°，∠BED=80° 求∠D的度数. 解：过点E作EF∥AB 则∠1+∠B=180° ∴∠1=180°-∠B=180°-150°=30° ∵∠BED=80° ∴∠2=80°-30°=50° ∵AB∥CD，EF∥AB ∴EF∥CD ∴∠2+∠D=180° ∴∠D=180°-50°=130° 解题通法： 题目条件中平行线有拐点出现,可以过拐点作平行线,从而 利用平行线的性质得出互补的角,再通过等量代换,得出角度关系. 模型3：鹰嘴模型 1、基础模型 鹰嘴=大角-小角 模型1.如果：AB∥CD 则有：∠2=∠D-∠B 证明：过点E作EF∥AB ∵AB∥CD ∴AB∥CD∥EF ∴∠1+∠2+∠B=180° ∠1+∠D=180° ∴∠D=∠2+∠B 即∠2=∠D-∠B 模型2.如果：AB∥CD 则有：∠2=∠B-∠D 证明：过点E作 EF∥AB. ∵AB∥CD ∴AB∥CD∥EF ∴∠B=∠2+∠1 ∠1=∠D ∴∠B=∠2+∠D ∴∠2=∠B-∠D 2、 拓展模型 已知：AB∥CD P在AB之间 P在AB上方 P在AB下方 ①∠P=∠A+∠C ②∠C=∠A+∠P ③∠A=∠C+∠P 3、 经典例题 例3.如图∠CMA=∠C-∠A 求证：AB∥CD