2.5.1直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时12 直线与圆的位置关系 新授课 1.能利用直线与圆位置关系解决实际问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 导入：一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：利用坐标法解决建筑的高度问题. 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m). 目标：能利用直线与圆位置关系解决实际问题. 解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上. 由题意得，点P，B的坐标分别为（0,4)，(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2. 详解接下一页. x y 学习活动 学习目标 学习总结 因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得到方程组 解得b=－10.5, r2=14.52. 所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点 的横坐标x=-2代入圆的方程， 得 ，即 . 所以 . 答：支柱的高度约为3.86 m. x y 学习活动 学习目标 学习总结 思考1：结合上述的建系过程，讨论该如何建立合适的平面直角坐标系？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴. ②常选特殊点作为直角坐标系的原点. ③尽量使已知点位于坐标轴上. 学习活动 学习目标 学习总结 问题：如何利用综合法（几何法）求解该问题？ 解：如图，过点 作 ，垂足为E，所以|OP|=4， |OA|=10，点C为圆拱所在圆的圆心. 在Rt△AOC中，有 ，解得r=14.5. 在 中，有 ，因为 ， 所以 ，又因为OC=14.5-4=10.5， 于是 . 答：支柱的高度约为3.86 m. 学习活动 学习目标 学习总结 思考2：比较上述两种方法，它们各自有什么特点？ 坐标法：通过建立坐标系，将问题转化为代数问题，然后通过代数运算求解，方法具有普适性； 综合法（几何法）：需要熟悉几何图形的性质，然后通过添加辅助线，运用垂径定理、勾股定理等有关性质定理计算求解，技巧性较高，不宜掌握. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：利用直线与圆的位置关系判断航程安全问题. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 问题1：结合已知，画出示意图，如何将其转化为数学问题？ 如图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，圆形区域表示暗礁所在区域，箭头表示轮船返港的路线，问题转化为利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 问题2：轮船的航线与圆的位置关系是什么？ 学习活动 学习目标 学习总结 问题2：轮船的航线与圆的位置关系是什么？ 解法1：以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0). 则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方程为 ,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为 ，即 .联立直线与圆的方程，得 ，消去y，得 ，由 ，可知方程组无解.所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 学习活动 学习目标 学习总结 解法2：在解法1的基础上，利用点到直线距求得圆形O到直线l的距离 ，可知直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 解法3：如图过O做直线AB的垂线，设其长度为d. 由题可知AB=5，利用等面积法求得 ,因此直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 学习活动 学习目标 学习总结 思考：结合任务1、任务2讨论如何利用坐标法解决平面几何问题？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 坐