8.6.2 直线与平面垂直 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时13 直线与平面垂直 新授课 1.知道直线与平面垂直的相关概念，理解直线和平面垂直的判定定理，并能运用其解决相关问题. 2.理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角. 学习活动 学习目标 学习总结 2 导入：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？ 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：观察实例，归纳直线与平面垂直的概念. 目标一：知道直线与平面垂直的相关概念，理解直线和平面垂直的判定定理，并能运用其解决相关问题. (1)如右图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直? (2)旗杆所在直线AB是否与平面内所有直线垂直？你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 一般地，如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α垂直.记作l⊥α α P l 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 直线l的垂面 平面α的垂线 垂足 学习活动 学习目标 学习总结 1.定义中的“任意”一词能修改为“无数”吗？ 不能，如图. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 思考 2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? 学习活动 学习目标 学习总结 直线与平面垂直的相关定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 新知讲解 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：根据直线与平面垂直的定义，探究直线与平面垂直的判定定理. 如图准备一块三角形的纸片ABC,过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片坚起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）. (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。 这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直.如图： 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 直线与平面垂直的定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P ⇒ l⊥α. (3)结合上述实例，如何判定直线与平面垂直？ 学习活动 学习目标 学习总结 思考：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？ 不能，平面内的两条相交直线代表两个不共线向量，而平面内的任意向量可以表示为它们的线性组合，从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线；而两条平行直线所表示的向量是共线的，用它们不能“表示”这个平面内与之不同方向的直线． 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：根据线面垂直的判定定理，判定直线与平面垂直. 如图,已知a//b，a⊥α，求证:b⊥α． 判定直线与平面垂直的常用命题： 归纳总结 证明：在平面α内取两条相交直线m，n． ∴ b⊥α． 又m，n是平面α内的两条相交直线， ∴ b⊥m， b⊥n． ∵ a//b， ∴ a⊥m， a⊥n， ∵ a⊥α， 学习活动 学习目标 学习总结 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.求证：SD⊥平面ABC 练一练 证明：因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD.由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： (1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论. 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：观察图象，归纳直线与平面所成角的概念. 目标二：理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.那不垂直呢？如图所示. (1)类比异面直线的刻画，思考如何刻画这种不垂直关系？ (2)什么是直线与平面的夹角？范围是什么？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳