8.6.1直线与直线垂直课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时12 直线与直线垂直 新授课 1.理解并掌握异面直线所成角的概念，会求两异面直线所成的角. 2.理解异面直线垂直的概念，并能证明两异面直线互相垂直. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：观察正方体，探究如何刻画异面直线的位置关系. 目标一：理解并掌握异面直线的概念，且了解异面直线夹角的范围以及空间角的范围. (1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线与直线AB,直线A'D'与直线AB都是什么位置关系？ (2)直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ (1)异面；(2)不同，用夹角表示. 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 如图，已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'//a，b'//b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. 思考：直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗? 无关. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：根据异面直线的夹角概念，求异面直线所成角. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1. (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (2)求直线BA1与CC1所成角的大小. (3)求直线BA1与AC所成角的大小. (1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在直线分别与直线AA1垂直. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为CC1//BB1，所以∠B1BA为直线BA1与CC1所成的角.而∠B1BA=45°，所以直线BA1与CC1所成的角等于45° 学习活动 学习目标 学习总结 (3)连接A1C1，BC1.所以∠B1BA为直线BA1与CC1所成的角.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC//A1C1，则∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角.而△A1BC1是等边三角形，所以∠BA1C1=60°，从而直线BA1与AC所成的角等于60°. 思考：结合上例，思考如何求解异面直线所成的角？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角. (2)计算角：求角度，常利用三角形. (3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 学习活动 学习目标 学习总结 如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是________． 练一练 60° 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：阅读教材P147，回答下列问题. 目标二：理解异面直线垂直的概念. (1)什么是两条直线异面垂直？如何表示？ (2)类比直线的夹角范围，说说空间两条直线所成角的范围是多少？ 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相重直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是0≤α≤90°. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：根据条件，证明两条异面直线垂直. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证:AO1⊥BD. 证明：连接B1D1． ∵正方体ABCD－A1B1C1D1中, ∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1∥BD ∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角． ∥ = ∴BB1 DD1, 连接AB1，AD1．易证AB1=AD1， 又O1为底面A1B1C1D1的中心， ∴O1为B1D1的中点，∴ AO1⊥BD 思考：如何证明两条直线异面垂直？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1.恰当选点，用平移法构造出一个相交角； 2.证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)； 3.把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数； 4.给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证． 学习活动 学习目标 学习总结 任务：根据下列问题，回顾本课所学，构建知识导图. 1.什么是两异面直线所成角？其范围是多少？ 2.如何求解异面直线所成的角？ 两直线所成的角 定义 特殊情况 0≤α≤90° 直线与直线互相垂直 两直线平行：0° 两直线异面：0≤α≤90° 范围 两直线垂直：90° 学习活动 学习总结 学习目标 $$