人教版2023-2024学年九年级数学上册期末专项训练：旋转问题综合训练

人教版2023-2024学年九年级数学上册期末专项训练 旋转问题综合训练 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（1）问题背景：如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积． 小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫，于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补，证明三点共线，从而得到正方形；进而求得四边形的面积． 请直接写出四边形的面积为______． （2）类比迁移：如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． 2．在菱形中，，点E是对角线上一点，点F在的延长线上，将绕点E逆时针旋转得到． (1)如图1，若点M恰好落在边上，且，，，求的长度； (2)如图2，若点M恰好落在边上，且，求证：； (3)如图3，若，，连接，，将沿翻折，点M的对应点为点，连接，当取最小值时，直接写出点D到的距离． 3．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长． 4．在中，，，，是的中点，将绕点旋转得到（点，的对应点分别为，），点不在直线上，连结． (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点，连接，，求线段的长． 5．等腰和等腰如图1放置，，． 【问题探究】 （1）连接，于点O，请说明、的数量关系和位置关系； 【深入探究】 （2）如图2，连接，，若，， ①则 ． ②如图3，将等腰绕点A旋转，交于点F，当是直角三角形时，的长为 ； 【迁移应用】 （3）如图4，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，过点C作直线轴，点D是直线上的一个动点，线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为 ． 6．已知正方形的边长为2，O为原点． (1)如图①，若点B在y轴上，求点A的坐标； (2)如图②，将图①中的正方形绕点O逆时针旋转时，求点B的坐标． 7．在平面直角坐标系中， O为原点，点，，把绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为，记旋转角为．    (1)如图①，当时，求的长； (2)如图②，当时，求点的坐标； (3)K为线段上一点，且，S为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）． 8．如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． (1)求证：；(2)求证：四边形是菱形． 9．如图，为等边三角形，点为边上一点(不与点，重合)，连接，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； (2)连接并延长交于点，用等式表示与的数量关系，并证明． 10．【问题发现】如图①，在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，连接， _______， ______（用含的代数式表示）； 【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，点为内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，求证：； 【结论应用】如图③，在【问题探究】的条件下，连接，，的最小值为____． 11．如图，在中，．将绕点A顺时针旋转得到．与交于点F． (1)求证：． (2)设，直接写出当m、n满足什么条件时，是等腰三角形． 12．已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)若， ①如图1，若，直接写出点的坐标 ； ②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分； (2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到． ①连接，判断的形状，并证明． ②连接，当 ，线段最短． 13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于和两点，交y轴于点C，点D是线段上一动点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，过点E作直线轴于H，过点C作于F． (1) 求抛物线解析式； (2)如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段的长； (3)在（2）的条件下：试探究在直线l上，是否存在点G，使？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 答案： 1．解：（1）由题可知． 故答案为：25； （2）如图，延长至，取，连接， ∵等边中，，， ∴， ∴四边形中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形，且， ∴； 过点A作于E， ∴， ∴， ∴； 2． （1）解：过点E作于点H，如图， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 则， ∴， 在中， ． （2）过点E作，交的延长线于点Q，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）