2023年秋八年级数学（华东师大版）期末专题复习第14章 勾股定理

第14章 勾股定理专题复习 模型1 “勾股树” 模型故事 “勾股树” 毕达哥拉斯树 (如图), 也叫 “勾股树”. 是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形. 又因为重复数次后的形状好似一棵树, 所以被称为毕达哥拉斯树. 重复的次数越多, 毕达哥拉斯树的 “枝千”就越茂密. 模型展现 基础模型 勾股定理: . 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 , 满足 或 或 ,那么这个三角形是直角三角形 在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论 作等边三角形 作半圆 作等腰直角三角形 作正方形（毕达哥拉斯树的起始图形） 结论： 怎么用? 1. 找模型 分别以直角三角形三边为边作相同图形 2. 用模型 根据勾股定理的关系及等式性质求解, 常用来解决面积问题 结论分析： 结论: 以作等边三角形为例. 证明: 如解图, 过点 作 于点 , 是等边三角形, , 在 中, , , 同理可得, , , 满足 , . 拓展延伸 其余图形的证明, 均是用面积的计算, 然后求和即可. 归纳总结：以三边分别为边作相同的图形, 解题的基本思想是勾股定理, 但所作图形的性质也是解题的关键. 勾股数中常见图形面积公式: 典例小试 例 1 如图,已知 和 分别是以 的斜边 及 直角边 和 为直径的半圆的面积, 则 （求面积，可使用结论）为（ ） A. B. B. C. D. 思路点拨 满足模型，选填项目中，可直接使用结论，高效解题。 例 2 如图, 分别以 的三边为斜边向外作等腰直角三角形, 若斜边 , 则图中阴影部分的面积为（ ） A. 100 B. C. 200 D. 例 3 用面积分别是 的正方形纸片围成如图所示的图形,任意选取其中三块 (可重复选取), 若要使所围成的直角三角形面积最大, 则选取的三块纸片的面积之和为（ ） A. 14 B. 20 C. 34 D. 37 例 4 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一, 在我国古算书 《周髀算经》中早有记载. 如图①, 以直角三角形的各边为边向外作等边三角形, 再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内. 若知道图②中阴影部分的面积, 则一定能求出图②中（ ） A．最大等边三角形与直角三角形面积的和 B. 最大等边三角形的面积 C. 较小两个等边三角形重叠部分的面积 D. 直角三角形的面积 思路点拨 根据“勾股树”的模型可得等边三角形面积之间的关系，在同一图形中，面积关系可通过和差表示。 跟踪训练 1.如图, 在四边形ABCD中，， 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形， 若, ， 则为 ( ) A. 39 B. 49 C. 89 D. 81 2.如图，以AC为直径的半圆，在半圆上取一点B，连接AB、BC，分别以AB，BC为直径画半圆，若AC = 5, BC = 3,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B. C. D. 3.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形.若图中阴影正方形的边长分别是8，4，4，2，则图中最大的正方形的面积为 ( ) A.18 B. 36 C. 50 D. 100 模型2 赵爽弦图 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理(),而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为；中间的小正方形边长为(),则面积为.于是便可得如下的式子：；化简后便可得：,亦即：. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形 的截、割、拼、补来证明代数 式之间的恒等关系，既具严密 性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几 何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范. 模型展现 基础模型 在正方形ABCD中,分别在边AB，BC，CD，DA上取点E，F，G，H，使得BE = CF = GD=AH，过点E，F，G，H作EJ//AD，FK//AB，GL//BC，HI//CD 结论1：四边形EFGH是正方形；