第12讲 解题技巧专题：平行线中的拐点问题-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第12讲 解题技巧专题：平行线中的拐点问题 思维导图 核心考点聚焦 1.平行线中含一个拐点问题 2.平行线中含两个拐点问题 3.平行线中含多个拐点问题 4.与生活有关的平行线拐点问题 考点剖析 考点一、平行线中含一个拐点问题 例题：如图，，若，，则∠E=______． 【答案】 【解析】如图所示，过点E作， ∵，∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______． 2．已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B，∠F，∠C满足的数量关系． (1)将∠B，∠C，∠F之间的数量关系填写到下表： 图形 ∠B，∠F，∠C满足的数量关系 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6） (2)请选择其中一个图形说明理由． 考点二、平行线中含两个拐点问题 例题：如图所示，，BEFD是AB，CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【答案】 【解析】如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB. ∵AB∥CD，EG∥AB，FH∥AB，∴AB∥EG∥FH∥CD， ∴∠1+∠BEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFD+∠D=180°，∴∠1+∠BEF+∠EFD+∠D=540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°． 【变式训练】 1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 2．（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x，y，z表示）． 考点三、平行线中含多个拐点问题 例题：如图，直线，则的度数为___________°． 【答案】360 【解析】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示： ∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD， ∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5， ∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC， ∴ ． 故答案为：360． 【变式训练】 1.如图： (1)如图1，，若，计算并直接写出的大小． (2)如图2，在图1的基础上， 将直线变成折线，证明：． (3)如图3，在图2的基础上， 继续将直线变成折线．请你写出一条关于，的数量关系（无需证明直接写出）． 2．猜想说理： （1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由： 拓展应用： （2）如图4，若，则 度； （3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数． 考点四、与生活有关的平行线拐点问题 例题：某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，延长交于，过点C作CG∥AE. ∵，，． 又∵，,． 又，． 故选B． 【变式训练】 1．在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的.若，，则（　　） A． B． C． D． 2．七年级四班在项目学习中研究生活中的平行关系，小明研究了家中的护眼灯．如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，则的度数为 ． 过关检测 一、选择题 1．如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 2．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，，，，则 ． 4．如图，，，则，，之间满足的数量关系为 ． 三、解答题 5．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题： (1)如图①，，，直接写出与的关系__________________； (2)如图②，，，猜想与的关系，并说明理由； (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________________； (4)应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，求出这两个角的度数分别是多少． 6．探究题 (1)如下图，，，．求度数； (2)如下图，，点在射线上运动，，． ①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________ ②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)