（1）空间向量与立体几何（A卷）自主训练——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）寒假轻松衔接

（1）空间向量与立体几何（A卷）——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）寒假轻松衔接 1.已知向量,若与垂直,则( ) A. B. C. D. 2.如图所示，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则( ) A. B. C. D. 3.已知，，，则M到直线AB的距离为( ) A. B. C.1 D. 4.在空间直角坐标系Oxyz中,已知,,,,则以下错误的是( ) A. B.,夹角的余弦值为 C.A,B,C,D共面 D.点O到直线AB的距离是 5.在三棱锥中，底面BCD是等边三角形，侧面ABD是等腰直角三角形，，，，分别取BC，AD，AB的中点E，F，G，连接EF，CG，则异面直线EF与CG所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列说法正确的是( ) A.若空间中的O,A,B,C满足,则A,B,C三点共线 B.空间中三个向量,,,若,则,,共面 C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面 D.设是空间的一组基底,若,,则不能为空间的一组基底 8.（多选）已知O是边长为正三角形ABC的外心,沿OB将该三角形折成直二面角,则下列说法正确的是( ) A.直线AC垂直直线OB B.直线AC与平面BOC所成角的大小为 C.平面AOC与平面BOC的夹角的余弦值是 D.O到平面ABC的距离是 9.在空间直角坐标系中,已知,,,点M为线段AB的中点,则________. 10.如图，在棱长为2的正方体中，点M是棱的中点，点P在侧面内，若，则的面积的最小值为__________. 11.如图,在三棱锥中,,平面ABC,于点E,M是AC的中点,,则的最小值为______________． 12.如图，在多面体ABCDQP中，平面平面ABCD，四边形ADQP是边长为2的正方形，四边形ABCD是等腰梯形，，，. （1）求点P到平面CDQ的距离； （2）求二面角的余弦值. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由于与垂直,所以,所以, 故,故选D. 2.答案：B 解析：连接ON，则. 3.答案：A 解析：由题意，得，，则，又，所以，因此M到直线AB的距离为，故选A. 4.答案：B 解析:因为,, 所以,A正确, 因为,所以,所以A,B,C,D共面,所以C正确, ,夹角的余弦值为,所以B错误, 因为,所以, 所以点O到直线AB的距离是,D正确. 故选:B. 5.答案：B 解析：如图，，，.，，.又，.异面直线EF与CG所成的角的余弦值为.故选B. 6.答案：B 解析：依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，(，，且m，n不同时为0)，则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则即令，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为，所以，得，所以，所以当时，m取得最大值，为. 7.答案：ABC 解析：对于A,根据向量的线性运算,若空间中的O,A,B,C满足, 则,即,则A,B,C三点共线,故A正确; 对于B,因为,则,共线,则根据共面向量的定义可得,,,共面,故B正确; 对于C,对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若,又,则P,A,B,C四点共面,故C正确; 对于D,若,,共面,则,则,,共面,与是空间的一组基底矛盾,所以,,不共面,所以能为空间的一组基底,故D错误, 故选：ABC． 8.答案：ABC 解析:设D是AC边中点 ①由翻折过程中垂直关系的不变性,可知平面ADC,由线面垂直定义可知,从而直线AC垂直直线OB; ②由题可知即为直线AC与平面BOC所成角,又三角形ADC为等腰直角三角形,所以,故直线AC与平面BOC所成角的大小为; ③以D为坐标原点,以DA,DB,DC所在的方向分别为x,y,z轴,建立直角坐标系,则,,,,设平面AOC,平面BOC的法向量分别为,,平面AOC与平面BOC的夹角为,则,,,平面AOC与平面BOC的夹角的余弦值是; ④由③可知,,,平面ABC的法向量为,所以O到平面ABC的距离. 9.答案： 解析:因为,,点M为线段AB的中点, 所以, 所以, 所以, 故答案为:. 10.答案： 解析：以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，依题意有，，，所以，，由于，故，解得.根据正方体的性质，可知，故为直角三角形.又，所以，所以，的面积为，所以当时，的面积取得最小值，为，经验证，满足题意. 11.答案： 解析：连接EC,