专题11求数列的前n项和七个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

专题11求数列的前n项和七个重难点归类 【重难点一 等差等比的前n项和】 例1．数列通项公式为，则其前项和的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 等差数列的前项和， 等比数列的前项和， 【跟踪练习】 练习1．已知等差数列的前项和为，若与是方程的两个实根，则（    ） A．46 B．44 C．66 D．40 练习2．（多选）在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为4 B．的前50项和为1175 C．的前50项积为 D．的前项和为 练习3．等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则 . 练习4．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 的值为 【重难点二 分组求和法】 例3．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 例4．已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前n项和． ①适用于的形式,其中数列是等差数列或等比数列 ②适用于的形式 【跟踪练习】 练习1．已知递增等差数列满足，且、、成等比数列. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 练习2．已知数列满足，，______，．从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分）． (1)写出，； (2)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (3)求数列的前2n项和． 练习3．已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式与前项和； (2)若且数列的前项和为，求. 练习4．已知数列满足：. (1)求出数列的通项公式； (2)已知数列满足，试求数列前n项和的表达式. 【重难点三 并项求和法】 例5．已知数列的前项和为，且，则 ． 例6．已知，则 . 一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 【跟踪练习】 练习1．若数列的通项公式是，则 练习2．已知数列的通项公式，其前项和为，则 . 练习3．已知各项均为正数的数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求． 练习4．递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前40项的和. 【重难点四 倒序相加法】 例7．已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 例8．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【跟踪练习】 练习1．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 练习2．已知函数，则 ；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于 . 练习3．已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 . 练习4．已知函数，则 ． 【重难点五 裂项相消法】 例9．已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项和为（    ） A． B． C． D． 例10．已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求. 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6） 【跟踪练习】 练习1．已知正项数列满足. (1)求通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 练习2．已知等差数列的前项和为，，. (1)求及； (2)若，求数列的前项和. 练习3．已知数列满足，，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前n项的和． 练习4．已知等差数列前项和为，满足.数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【重难点六 错位相减法】 例11．在各项均不相等的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例12．记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，记的前项和为，求证：． 如果一个数列的各