5.3.3&5.3.4&5.3.5&5.4 古典概型、频率与概率、随机事件的独立性、统计与概率的应用【8大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第二册）

5.3.2&5.3.3&5.3.4 古典概型、频率与概率、 随机事件的独立性、统计与概率的应用 一、古典概型的判断 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验， 其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点， 则定义事件A的概率P(A)＝＝， 其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 二、频率与概率 1、频率的稳定性 大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 2、频率的求法 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率， 频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值是概率． 3、频率和概率区别和联系 区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． （2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量 （3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性． 联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)． 三、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 3、用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 四、相互独立事件的概率计算公式 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 表示 概率 A，B同时发生 AB A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 A，B中至多有一个发生 题型一 古典概型的特征与判断 【例1】（2023·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（ ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 【变式1-1】（2023·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ） ①从区间内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2023·高一课时练习）下列试验不是古典概型的是（ ） A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币首次掷出正面为止 【变式1-3】（2022·高一课时练习）（多选）下列是古典概型的有（ ） A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 题型二 古典概型的概率计算 【例2】（2023·江西上饶·高一校考阶段练习）某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学参加这项活动，则他获奖的概率为（ ） A． B．