28.1 锐角三角函数-【高分突破系列】2023-2024学年九年级数学下册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 1 锐角三角函数的定义 在中，， 则正弦，余弦，正切. 解释 ① 对于，是它的对边，是它的邻边，是斜边； ② 由相似，可知固定角的正弦值、余弦值、正切值的大小只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关. ③ 锐角的正弦、余弦、正切都是锐角三角函数. 2 同角三角函数的关系 为锐角，，. 证明 在中，， ，则； 因为，，所以. 3 互为余角两角三角函数的关系 若为锐角，且，则. 证明 在中，，，所以. 4 特殊角的三角函数值锐角 锐角三角函数 解释 ① 含的直角三角形的三边比例. 证明 设，由“直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”，则；再由勾股定理可得，所以. ② 含的直角三角形的三边比例. 证明 设，由于等腰三角形，则，再由勾股定理可得，所以. ③ 特殊角的三角函数值均可由以上两个特殊三角形和锐角三角函数的定义可得. 【题型1】 锐角三角形函数的定义 【典题1】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是(　　) A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【典题2】在网格中，△ABC如图放置，则sinB的值为　　． 【典题3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB的值为 　　． 【巩固练习】 1.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值(　　) A．不变 B．扩大5倍 C．缩小 D．不能确定 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是(　　) A． B． C． D． 3.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　) A． B． C． D． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA+cosA的值是(　　) A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不能确定 5.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，，则tan∠B＝(　　) A． B． C． D． 6.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC＝8，BC＝6．则sin∠ABD＝　　． 7.Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝　　． 8.如图，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC于C，DE∥AC交BC于E，若DE＝BD，则cosA＝　　． 9.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是　 　． 10.如图，半径为13的⊙O内有一点A，OA＝5，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于 　． 11.求. 【题型2】 同角三角函数的关系 【典题1】 若α为锐角，且sinα＝，则tanα为(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.若sin10°＝cosA，则锐角A＝(　　) A．10° B．80° C．10°或20° D．不确定 2.x为锐角，，则cosx的值为(　　) A． B． C． D． 3.在三角形ABC中，∠C为直角，sinA＝，则tanB的值为(　　) A． B． C． D． 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则tanA的值是(　　) A． B． C． D． 5.已知∠A+∠B＝90°，且cosA＝，则cosB的值为 . 6.已知tanα＝2，则 . 【题型3】特殊角的三角函数值 【典题1】计算： (1) ； (2)tan30°•tan60°+sin245°+cos245°； (3)2cos30°•sin60°﹣tan45°•sin30°． 【典题2】在△ABC中，若∠A，∠B均为锐角，且，则∠C的度数是(　　) A．45° B．60° C．75° D．105° 【巩固练习】 1.已知实数a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，则下列说法正确的是(　　) A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b 2.计算：sin60°•tan30°＝(　　) A．1 B． C． D．2 3.与2sin30°的结果相同的是(　　) A．1﹣sin30° B．sin45° C．tan60° D．cos245° 4.在△ABC中，若，则△ABC是 　 　． 5.计算： (1) ； (2) ． 6.规定：sin(﹣x)＝﹣sinx，cos(﹣x)＝cosx，sin(x+y)＝sinx•cosy+cosx•siny．据此 (1)判断下列等式成立的是　 　(填序号)． ①cos(﹣60°)＝﹣；②sin2x＝2sinx•cosx；③sin(x﹣y)＝s