1.2.2 等差数列的前n项和 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.2.2 等差数列的前n项和 新授课 第2课时 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 复习导入 等差数列的前n项和公式 或 注意：两个公式都表明要求Sn必须已知n，a1，d，an中的三个. 新课讲授 学习目标 课堂总结 等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 知识点1：等差数列的前n项和公式 同样我们发现S3n=3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn=Sn＋n2d，S3n－S2n=Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 分析：S2n=a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n =Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd) =2Sn＋n2d. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：因为an+1-an=[2（n+1）+3]-（2n+3）=2，所以数列{an}是公差为2的等差数列. 例1:在数列{an}中，an=2n+3，求这个数列从第100项到第200项的和S的值. 此数列从第100项到第200项仍是等差数列，共有101项.所求和为 因此，这个数列从第100项到第200项的和S的值为30 603. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m）组成了一个数列 0,20,40,60，…，380， 例2:在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处,植树工人共走了多少路程？ 这是首项a1 = 0，公差d=20，项数n=20的等差数列，其和 因此，植树工人共走了3 800m的路程. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3:某抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达.为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线.但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 需要完成的工作量为24×20=480.因此，在24h内能构成第二道防线. 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h）依次设为a1，a2，a3，…，a25. 这是一个等差数列，其中首项a1=24，公差d= ， 25辆车可以完成的工作量为 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点2：等差数列的前n项和与二次函数的关系 ① d = 0：Sn = a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点； ② d < 0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； ③ d > 0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点. 等差数列{an}的前n项和公式 Sn= O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) 新课讲授 学习目标 课堂总结 等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系 归纳总结 d d = 0 d < 0 d > 0 数列图象 Sn 最值 联系 O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) 无 最大值 最小值 当d≠0时，Sn可以看成二次函数 （x∈N+）当x=n时的函数值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解法一：a1＞0，d= ＜0， ∴{an}是递减数列， ∵当 n < 8时，an > 0，当 n = 8时，an = 0，当 n > 8时，an <0， ∴当n=7或8时，Sn 最大. 例4:已知等差数列 的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值. ∴an=a1+（n-1）d= . 新课讲授 学习目标 课堂总结 所以Sn 例4:已知等差数列 的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值. 解法二：由题可得，等差数列 的公差为 所以，当n取与 最接近的整数，即7或8时，Sn取得最大值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法： 归纳总结 (1) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值； 当a1＜