3.1.2 函数的单调性 第2课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.2 函数的单调性 新授课 3.1 函数的概念与性质 第2课时 1.理解函数的平均变化率与函数单调性的关系 2.会用函数的平均变化率证明函数的增减性 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1),B(x2，y2),当x1≠x2时，称 知识点1：直线的斜率 为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在. 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度. O y x 若记∆x=x2－x1,相应的∆y=y2－y1,则当∆x≠0时，斜率可记为 ∆x ∆y 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：平面直角坐标系中三个点共线的充要条件是什么？ 直线AB的斜率大于零，直线AD的斜率小于零. 直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的比. O y x ∆x ∆y 当且仅当任意两点确定的直线斜率相等或不存在. 由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：观察函数图像上任意两点连线的钭率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. O y x 知识点2：函数的平均变化率与函数单调性的关系 ∆x ∆f ∆x ∆f 函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0, 函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)， (即 )，则： (1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是 在I上恒成立； (2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是 在I上恒成立； 一般地，当x1≠x2时，称 为函数在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x2<x1时)上的平均变化率. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 求证：函数 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数. 解：设x1≠x2 ，那么 同理，函数在(0,+∞)上也是减函数. 所以函数(-∞,0)上是减函数， 如果x1，x2∈(-∞,0)，则x1x2＞0，此时 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 判断一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性. 解：设x1≠x2 ，那么 一次函数的单调性取决于k的符号： 当k>0时，一次函数在R上是增函数； 当k<0时，一次函数在R上是减函数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 对于一次函数y=kx+b(k≠0)： （1）其单调性与b无关； （2）k的集合意义就是该函数的图像（直线）对应的斜率； 新课讲授 学习目标 课堂总结 一次函数中 ∆y与∆x成正比，比例系数为k， 当自变量每増大ー个单位时，因变量增大k个单位（线性增长）. 如果∆y=k∆x时，设x=0时函数值为y0，则y-y0=k(x-0), 即y=kx+y0. 一次函数也称为线性函数. 因此只有一次函数才具有这个性质 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数，在[-1,+∞)上是增函数，并求这个函数的最值. 解：设x1≠x2 ，那么 因此，当x1，x2∈(-∞,-1]时，有x1+x2＜-2， 从而 此时f(x)在(-∞,-1]上是减函数； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数，在[-1,+∞)上是增函数，并求这个函数的最值. 由函数的单调性可知，函数没有最大值； 因此，当x1，x2∈[-1,+∞)时，有x1+x2＞-2， 当x∈[-1,+∞)时，不等式也成立，因此f(-1)=-1是函数的最小值(-∞,0). 从而 此时f(x)在[-1,+∞)上是增函数； 而且，当x∈[-∞,-1)时，有f(x)≥f(-1)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调性： （1）当a>0时，f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，函数没有最大值，但有最小值 （2）当a＜0时，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，函数没有最小值，但有最大值 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.函数的平均变化率与函数单调性有什么关系？ 2.怎么用函数的平均变化率证明函数的增减性？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$