专题10 等比数列（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题10 等比数列 知识点一 等比数列的概念 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 例1．（1）、（2023上·山东潍坊·高三校考期中）在等比数列中，已知，，则该等比数列的公比是（    ） A． B． C． D． （2）、（2016上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知数列是等比数列，若，，则 . （3）、（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2023下·高二课时练习）两个数4和9的等比中项是（    ） A．6 B． C． D． 2．（2024上·北京大兴·高三统考期末）设是等比数列，，，则 . 3．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，，，则 . 例2．（2023上·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 1．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，． (1)证明：是等比数列； (2)设，数列的前n项和，证明：． 知识点二 等比数列的通项公式 （1）、设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． （2）、推广形式： 例4．（1）、（2023上·湖南岳阳·高二校考竞赛）在数列中，，，则为（    ）． A． B． C． D． （2）、（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ． （3）、（2023上·上海虹口·高三校考期中）已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式 ． （4）、（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）等比数列中，，，则 . 1．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）已知等比数列中，，，则该数列的通项（   ） A． B． C． D． 2．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的通项公式 . 3．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ． 4．（2022上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知数列的首项，前n项和为，若，则 ． 例4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前1012项和． 1．（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求 知识点三 等比中项 （1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． （2）若时，则，特别地，当时，． 例5．（1）、（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为 ． （2）、（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（    ） A． B． C． D． （3）、（2023下·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）在正项等比数列中，，则 . 1．（2023·四川成都·统考一模）记为公差不为零的等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为 . 2．（2023上·湖北·高二期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）设，若3是与的等比中项，则的最大值是 . 知识点四 等比数列的综合性质 等比数列的公比为，其前项和为 例6．（1）、（2024·安徽淮北·统考一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . （2）、（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）若等比数列满足，则等于（   ） A．6 B．±6 C．5 D．±5 （3）、（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）现有一根4米长的木头，第一天截掉