专题09 等差数列的前n项和（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题09 等差数列的前n项和 知识点一 累加法 例1、（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 例2、（2022上·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求 1．（2020下·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知首项为1的数列满足：当时，. （1）求数列的通项公式；                 （2）求数列的前项和. 2．（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 知识点二 已知数列的前n项和求其通项公式 例2．（1）、（2023上·山东潍坊·高三校考期中）数列前项和，则该数列的第4项为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 （2）、（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考开学考试）已知数列的前项和，则数列（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 1．（2023上·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和，则 （  ） A． B．9 C．11 D．25 2．（2023·四川凉山·统考一模）已知数列的前项和，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 例3．（2023上·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知数列前项和为． (1)试写出数列的前项； (2)求的通项公式． 例4．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）已知数列前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 1．（2023上·河北·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 2．（2023上·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：，求数列的前项和； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围． 知识点三 等差数列前n项和的综合性质 例5．（1）、（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 （2）、（2023上·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，依次构成的数列的第项，则的值为 .    （3）、（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）在数列中，，且，则数列的前15项和为（    ） A．84 B．102 C．120 D．138 （4）、（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知是等差数列的前项和，为数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023上·广东江门·高三江门市新会第一中学校考阶段练习）若等差数列满足，，则当 时，的前项和最大；当时的最大值为 . 2．（2024上·吉林白山·高二统考期末）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中讨论了一些高阶等差数列的求和方法，高阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是后一项与前一项之差或者高阶差成等差数列，如数列，后一项与前一项之差得到新数列，新数列为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为，则该数列的第10项为（    ） A．96 B．142 C．202 D．278 3．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 4．（2023上·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ， . 例6．（2023上·重庆·高二重庆一中校考阶段练习）已知数列的各项都是正数，为的前项和，且对任意都有 (1)求数列的通项公式； (2)若，，证明：中有且仅有一项在中． 例7．（2022上·江苏扬州·高二江苏省邗江中学校考期末）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围． 1．（2023上·青海·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)若，记的前n项