专题03 中点模型之斜边中点模型、中位线模型、中点四边形模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题03 中点模型之斜边中点模型、中位线模型、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若AD为斜边上的中线，则： （1）；（2），为等腰三角形；（3），． 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为 ． 例2．（2023·福建莆田·校考模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，连接，将线段绕点B逆时针旋转90°得到线段，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3．（2023·河南新乡·统考三模）如图，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接，若，则菱形的面积为 ．    例4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为 ．    例5．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（　　） A． B． C． D． 例6．（2023下·广东·八年级假期作业）如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，M，N分别是BC和ED的中点．求证：． 模型2：中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且，△ADE∽△ABC。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      例2．（2023下·浙江金华·八年级统考期末）如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，则的长为（　　） A． B． C． D．2    例3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例4．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ．    例5．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ． 例6．（2023·河南信阳·校考三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①，在边长为4的正方形中，点是边的中点，，连接，点分别是的中点，连接，求的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性． 小佳同学是这样思考的：题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②．过点作，垂足为，易证四边形是矩形，连接、则点也是的中点，连接，则是的中位线，计算出的长度即可求出的长度． 根据以上信息，请回答以下问题：(1)点是中点的依据是__________________________ (2)请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．    模型3：中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较