专题13 圆中的辅助线模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题13.圆中的辅助线模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2023秋·重庆·九年级专题练习）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（    ） A．108° B．109° C．110° D．112° 例2．（2023•宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数． 例3．（2023•浙江一模）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于90°的角）（　　） A．54° B．55° C．56° D．57° 例4．（2023·重庆初三三模）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知tan∠CDB＝，BD＝10，则OH的长度为（　　） A． B．1 C． D． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    例2．（2023·湖南九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为________． 例3．（2023·黑龙江九年级期末）⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 例4．（2023·成都市九年级期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________． 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，，，是上的三点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，点B，C，D在上，若，则的大小是 ．    例3．（2023秋·重庆·九年级校考阶段练习）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为8，则弦长为（  ） A．8 B．4 C． D． 例4．（2023·广西初三一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O直径为（　　） A．6 B．12 C．6 D．6 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图是的直径，C，D是上的两点，若，则 ．    例2．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（  ） A． B． C． D． 例3．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，为的直径，弦交于点，，，，则（    ） A． B． C．1 D．2 模型5、遇90°的圆周角连直径 【模型解读】如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周