1.5.2.2余弦函数图像的再认识 教案-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

余弦函数图像的再认识 1、 教学目标 1、利用描点法绘制余弦函数的图像； 2、掌握余弦函数图像的性质； 3、理解正弦函数图象与余弦函数图像之间的联系； 4、理解三角函数线； 2、 教学重难点 重点：余弦函数图像的性质的应用 难点：正弦函数余弦函数的性质的应用 3、 教学设计 1、 复习回顾 （1） 余弦函数的概念：给定任意角，作单位圆，角的终边与单位圆的交点，点的纵坐标，横坐标都是唯一确定的，仿照上面的定义，把点的横坐标叫作角的余弦值，称是任意角的余弦函数。 （2） 余弦函数的基本性质： 定义域：余弦函数的定义域：实数集 最值和值域：当时，余弦函数取得最大值，最大值为 当时，正弦函数取得最小值，最小值为 余弦函数的值域为 周期性：终边相同的角余弦函数值相等：，余弦函数的最小正周期为 余弦函数的单调性：对任意的，余弦函数在区间单调递减， 余弦函数在区间单调递增 （3） 余弦函数的诱导公式： 终边相同的角： 终边关于坐标原点对称： 终边关于轴对称： 逆时针旋转： 顺时针旋转： 终边关于直线对称： 2、 新知概念 2、1描点法绘制余弦函数的图像 （1） 列表：如下 （2） 描点、连线 （3） 由周期性可知，函数在区间的图像与区间上的函数图像形状完全相同，只是位置不同。因此将函数的图像进行左右平移即可得到余弦函数的图像。余弦函数的图像称为余弦曲线。 2、2五点作图法绘制余弦函数的图像 （1） 在一个周期内，选出关键的点，如下： （2） 描出这五个关键点，并使用光滑的曲线连接起来 2、3平移法绘制余弦函数的图像（正弦函数余弦函数图像之间的联系） 因为，所以余弦函数的图像可以由正弦函数的图像向左平移个单位。 2、4知识点补充：三角函数线绘制正弦函数、余弦函数图像（简介） 三角函数线：指的是单位圆中的有向线段。如下图 正弦线：，余弦线：，正切线：，三角函数线的长度代表对应三角函数值的绝对值，方向代表三角函数值的符号。 对点练习 1、 在内，比较的大小 解：如图，放在锐角的三角函数线中求解 连接，则线段，， 所以： 由图像可知： 所以： 2、5正弦函数的性质再认识 （1） 定义域：余弦函数的定义域是。 （2） 周期性：根据正余弦函数图像之间的关系可以知道，余弦函数是周期函数，最小正周期为。 （3） 单调性：单调递增区间： 单调递减区间： （4） 最值与值域：当时，取得最大值 当时，取得最小值 余弦函数的值域是 （5） 奇偶性：由诱导公式可知，余弦函数是偶函数 （6） 对称性：对称轴：直线： 对称中心： 3、 例题讲解 例1、 利用五点作图法画出函数在一个周期上的图像。 解：列表如下： 于是得到函数在区间上的 五个关键点为： 在直角坐标系中描出各点，并用光滑的曲线顺次连接起来。如图 例2、 利用五点作图法画出函数在一个周期上的图像。 解：列表如下 例3、 求函数的定义域。 解：要使得函数有意义，则，即，画出余弦函数的图像如下： 结合图像可知，该函数的定义域为： 例4、 求函数的定义域。 解：要使上述函数式子有意义，则需要满足，即 在同一直角坐标系中画出两个函数图像，如下所示： 所以函数的定义域为： 例5、 判断方程的根的个数。 解：采用数形结合的方法，将方程根的个数转换成函数图像的交点个数问题，，如下图 根据图像可知，总共由三个交点，因此方程有个根。 例6、 比较三个数的大小关系。 解：且余弦函数在上单调递减， 所以：，所以： 例7、 求出下列函数的值域 （1） （2） （3） （4） 解：（1）余弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时取得最大值为，在或时取得最小值为 所以当时，，所以： 所以： 所以函数的值域为 （2）引导学生使用两种方法（其中换元法分离常数牵扯到正负的情况，因此比较麻烦），推荐使用反解法。 因为：，所以，即 可得：，因为，所以 即，即解得：或 （可以分类讨论列方程组也可以直接使用绝对值的关系） 综上所述：函数的值域为 （3）此题采用换元法进行处理 令，因为，所以，因此原函数可以转化为： 是一个二次函数，且对称轴为直线，所以在区间函数单调递减，因此当时，取得最大值为，当时，取得最小值为 所以函数的值域为 （4）由题可以判断出来是复合函