5.2.1 基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 1. 能根据导数定义求函数 y = c，y = x，y = x2，y = x3，y = ，y = 的导数； 2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾： 导数的定义：f ´(x) 就是 y = f (x) 的导数. 记作 y´，即 f ´(x) = y´= . 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1：基本初等函数的导数 问题 1：求出下列几个常用函数的导数，并举例说明导数的意义. x y O y = c （1）函数 y = f (x) = c ( c为常数 ) 的导数； 因为 = = = 0， 所以 y´= = 0 = 0. 如图，若 y = c 表示路程关于时间的函数，则 y´= 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即一直处于静止状态. 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）函数 y = f (x) = x 的导数； 因为 = = = 1， 所以 y´= = 1 = 1. 如图，若 y = x 表示路程关于时间的函数，则 y´= 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动. x y O y = x 新课讲授 学习目标 课堂总结 （3）函数 y = f (x) = x2 的导数； 因为 = = = = 2x + Δx， 所以 y´= =(2x + Δx) = 2x. x y O y = x2 y´ = 2x 表示函数 y = x2 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化； 当 x < 0 时，随着 x 的増加，|y´| 越来越小，y = x2 减少得越来越慢； 当 x > 0 时，随着 x 的增加，|y´| 越来越大，y = x2 增加得越来越快； 若 y = x2 表示路程关于时间的函数，则 y´ = 2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为2x . 新课讲授 学习目标 课堂总结 （4）函数 y = f (x) = x3 的导数； 因为 = = = = 3x2 + 3x·Δx + (Δx)2， 所以 y´= =[3x2 + 3x·Δx + (Δx)2] = 3x2. y´= 3x2 表示函数 y = x3 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 3x2，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. y = x3 x y O 新课讲授 学习目标 课堂总结 （5）函数 y = f (x) = 的导数； 因为 = = = = – ， 所以 y´= =(– ) = – . y´ = – 表示函数 y = 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 – ； 当 x < 0 时，随着 x 的増加，|y´| 越来越大，y = 减少得越来越快； 当 x > 0 时，随着 x 的增加，|y´| 越来越小，y = 增加得越来越慢. x y O y = 新课讲授 学习目标 课堂总结 （6）函数 y = f (x) = 的导数； 因为 = = = = ， 所以 y´= = = . y´ = 表示函数 y = 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 ； 根据函数的定义域可知，x ≥ 0； 故当 x > 0 时，随着 x 的增加，|y´| 越来越小，y = 增加得越来越慢. x y O y = 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数类型 原函数 f (x) 导函数 f ´(x) 常函数 ① f (x) = C (C 为常数) f ´(x) = 0 幂函数 ② f (x) = xα (α∈Q 且 α ≠ 0) f ´(x) = αxα – 1 三角函数 ③ f (x) = sin x f ´(x) = cos x ④ f (x) = cos x f ´(x) = – sin x 指数函数 ⑤ f (x) = ax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = axln a (a > 0，且 a ≠ 1) ⑥ f (x) = ex f ´(x) = ex 对数函数 ⑦ f (x) = logax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = (a > 0，且 a ≠ 1) ⑧ f (x) = ln x f ´(x) = 归纳小结 常用基本初等函数的导数公式表 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：求下列函数的导数. （1）y = ； （2）y = log2