5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 第1课时 1. 理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念； 2. 掌握导数的概念，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：导数的概念 回顾：仔细观察，说说前面解决的这两类问题时有什么共性？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 函数 y = f (x) 从 x0 到 x0 + Δx 的平均变化率： （1）自变量的改变量：Δx = x0 + Δx – x0； （2）函数值的改变量：Δy = f (x0 + Δx) – f (x0)； （3）平均变化率： = . 对 Δx，Δy 的理解： ① Δx，Δy 是一个整体符号，不是 ∆ 与 x，y 相乘； ② x0 到 x0 + Δx 是定义域内不同的两点，因此 Δx ≠ 0，但 Δx 可正、可负；同理，Δy 是函数值的改变量，可正、可负，也可为 0；因此平均变化率可正、可负，也可为 0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数 f (x) 在 x = x0 处的 瞬时变化率是函数 f (x) 从 x0 到 x0 + ∆x 的平均变化率在 Δx → 0 时的极限，即： 函数 f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率也称为 y = f (x) 在 x = x0 处的导数，即当在Δx → 0时，无限趋近于一个确定的值，即有极限，称y = f (x)在 x = x0 处可导，记作记作 f ´(x0) 或 y´|x = ，即: = f ´(x0) = = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 由导数定义可知，下列问题中，运动员在 t = 1 s 时的瞬时速度 v(1)，就是函数 h(t) = – 4.9t2 + 4.8t + 11 在 t = 1 处的导数 h´(1)； 同理，抛物线 f (x) = x2 在点 P0 (1，1) 处的切线 P0T 的斜率 k0，就是函数 f (x) = x2 在 x = 1 处的导数 f ´(1) . 抛物线的切线斜率： 切线斜率： 高台跳水运动员的速度： 瞬时速度： 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：设 f (x) = ，求 f ´(1) . 典例剖析 解： f ´(1) = = =(– ) = – 1 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.设 f (x) = x，求 f ´(1) . 解： f ´(1) = = =1 = 1 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 y = f (x) = x2 – 7x + 15 (0 ≤ x ≤ 8). 计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 典例剖析 解：在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f ´(2) 和 f ´(6)； 根据导数定义，第 2 h 时： = = = Δx – 3； 所以 f ´(2) = =(Δx – 3) = – 3；同理可得， f ´(6) = 5 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 已知在第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 y = f (x) = x2 – 7x + 15 (0 ≤ x ≤ 8). 计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 在第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 − 3 ℃/ h 与 5 ℃/ h； 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 ℃/ h 的速率下降；在第 6 h 附近，原油温度大约以 5 ℃/ h 的速率上升. 一般地，f ´(x0) (0 ≤ x0 ≤ 8) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2. 已知在第 x h 时，原油的温度(单位：℃)为 y = f (x) = x2 – 7x + 15 (0 ≤ x ≤ 8). 计算第 3 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义. 解：第 3 h 时，原油温度的瞬时变化率就是 f ´(3) ； 根据导数定义，第 3 h 时： = = = Δx – 1； 所以 f ´(3) = =(Δx – 1) = – 1； 在第 3 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 − 1 ℃/ h，说明在第 3 h 附近，原油温度大约以