5.1.1 变化率问题第2课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

5.1.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 第2课时 1. 通过实例分析，经历由割线斜率过渡到切线斜率的过程，理解函数割线斜率、切线斜率的概念以及它们之间的关系； 2. 掌握函数割线斜率、切线斜率的求法. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：割线与切线的概念 思考：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切. 类比上述概念，说说对于一般的曲线C，该如何定义它的切线？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：类比从平均速度到瞬时速度的研究，说说该如何定义抛物线 f (x) = x2 在点 P0 (1，1) 处的切线？ T 如图，在点P0 (1，1) 的附近任取一点P(x，x2)，连接割线P0P (与曲线有两个公共交点的直线)； 观察可知，当点P沿着抛物线 f (x) = x2无限趋近于点P0时，割线P0P将无限趋近于一个确定的位置； 这个确定位置的直线 P0T 称为抛物线 f (x) = x2 在点 P0 (1，1) 处的切线. 思考：试定义抛物线 f (x) = x2在点 P0 (x0，f (x0)) 处的切线？ o 1 2 1 2 3 x y P0 P 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：抛物线从割线到切线变化的过程，与平均速度到瞬时速度的变化过程有什么相同点？ 平均速度 瞬时速度v (t0) 一段时间 某一时刻 割线 P0P 切线 P0T 一段距离P0P 一个点P0 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：割线与切线的斜率 问题 1：求抛物线 f (x) = x2 在点 P0 (1，1) 处的割线 P0P 的斜率 k . 如图，在点 P0 (1，1) 的附近任取一点P (x，x2)， 记 Δx = x – 1，则点 P 的坐标为 (1 + Δx，(1 + Δx)2)； 所以割线P0P的斜率k = = = Δx + 2； 注意：Δx 的值可正、可负，但不能为 0 . 思考：根据上述割线的斜率，该如何求出抛物线在点 P0 处的切线 P0T 的斜率呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 ∆ x < 0 时 ∆ x > 0 ∆ x k = Δx + 2 ∆ x k = Δx + 2 – 0.01 1.99 0.01 2.01 – 0.001 1.999 0.001 2.001 – 0.000 1 1.999 9 0.000 1 2.000 1 – 0.000 01 1.999 99 0.000 01 2.000 01 – 0.000 001 1.999 999 0.000 001 2.000 001 ······ ······ 当点 P 沿抛物线无限趋近于点 P0 时，割线 P0P 将趋近于抛物线在点 P0 处的切线 P0T，所以可用割线 P0P 的斜率 k 近似地表示切线 P0T 的斜率 k0，且可通过不断缩短横坐标间隔 |Δx| 来提高近似表示的精确度，得到下表： 当∆x无限趋近于0，即无论 x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率 k 都无限趋近于 2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳小结 由 k = = Δx + 2 可知，当∆x无限趋近于0时，Δx + 2无限趋近于2； 数学中，把 2 叫做“当 ∆x 无限趋近于 0 时，k = 的极限”， 记为： = 2. 从几何图形上看，当横坐标间隔 |Δx| 无限变小时，点P无限趋近于点P0，割线 P0P 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T，割线 P0P 的斜率 k 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T 的斜率 k0. 所以切线 P0T 的斜率为 k0 = 2. 切线斜率与极限思想 新课讲授 学习目标 课堂总结 辨析：切线斜率与割线斜率的区别与联系； 切线斜率 割线斜率 区别 联系 以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率 经过曲线上两点连线的斜率 切线的斜率是割线的斜率的极限值 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：观察函数h(t) = – 4.9t2+4.8t+11的图象，说说平均速度 = 、瞬时速度 v(1) 的几何意义分别是什么？ O 1 (1，h(1)) t h (1+Δt，h(1+Δt)) h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 平均速度 = 的几何意义是曲线过两点(1，h(1))，(1+Δt，h(1+Δt)) 的割线的斜率； 瞬时速度 v(1) 的几何意义是曲线在点(1，h(1)) 处的切线的斜率. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：求抛物线 f (x) = x2 在点 (– 1，1) 处的切线的斜率. 典例剖析 解：抛物线 f (x) = x2 在点 (– 1，1