6.2.4向量的数量积（第一课时）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 （第一课时） 学习目标 1.了解两个非零向量的夹角的概念,会求两个非零向量的夹角,掌握两个向量垂直的定义 2.掌握平面向量的数量积，会求向量的数量积 3.理解投影向量的概念,会求一个向量在另一个向量上的投影向量 知识框架 一、复习引入 问题1：向量的线性运算包括哪些？ 向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘运算 那向量与向量可以相乘吗？结果是什么量？我们该怎么定义呢？ 规定实数与向量的积是一个向量 长度： 方向：当时，与的方向相同； 当时，与的方向相反； 当时， 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作 ， ,则叫做向量与的夹角. 二、新知探究 探究1 向量的夹角 θ 注意：1.向量的夹角可表示为<>； 2.向量夹角范围是. 特殊情况 与同向 与垂直，记作 与反向 二、新知探究 探究1 向量的夹角 思考：快问快答，请同学们快速说出下列两个向量间的夹角。 0° 140° 90° 60° 180° 二、新知探究 探究2 向量的数量积 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） 力F所做的功W可用下式计算：W=|F||S|cosθ，其中θ是F与S的夹角 问题2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 标量；大小由力、位移及它们的夹角确定。 二、新知探究 问题3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 探究2 向量的数量积 是 二、新知探究 向量的数量积： 已知两个非零向量与，它们的夹角为 我们把数量叫做向量的数量积（或内积） 记作 即 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度以及夹角有关. 探究2 向量的数量积 二、新知探究 3. 注意公式变形，知三求一： 注意事项： 1. 向量的数量积是一种新的运算，与实数不同； 2. 在书写数量积时， 之间用实心圆点“·”连接， 不能写成“ × ”,更不能省略 探究2 向量的数量积 当0°≤θ ＜ 90°时 , 为正； 当90°＜θ ≤180°时， 为负； 当θ =90°时，为零. 即时小练 练1.如图已知，， 与的夹角，求 解： 数量积符号由cos的符号所决定 探究2 向量的数量积 即时小练 练2.如图已知，， ，求与的夹角 解：， 得 探究2 向量的数量积 因为，所以 二、新知探究 问题4：，其中，你会联想到什么？ O θ M1 O θ M1 探究3 投影向量 投影 投影与投影向量： 如图，设和是两个非零向量， ， ， 我们考虑如下的变换： 过的起点和终点，分别作所在直线的垂线， 垂足分别为，得到， 我们称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量 二、新知探究 探究3 投影向量 A B 三、课堂练习 过点A作直线OB的垂线，垂足为M1 , 则叫做向量在向量上的投影向量 同向 反向 O θ M1 O θ M1 探究3 投影向量 二、新知探究 问题4： 设与方向相同的单位向量为， 与的夹角为，那么与, ,之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是 同向 O θ M1 反向 O θ M1 探究3 投影向量 (1)当为锐角时， (2)当为钝角时， == == 二、新知探究 （4）当为直角时， （3）当时， （5）当时， O M1 O θ O θ 显然，与共线，于是 ， 所以 ， 所以 ， 所以 对于任意的 即时小练 练3.在已知，为单位向量,当向量，的夹角等于时 (1)求向量在向量上的投影；(2)求向量在向量上的投影向量 解：由定义可得，向量在向量上的投影为 （1）向量在向量上的投影： 求投影的两种方法： （在上的投影） ① ② （2）向量在向量上的投影向量： 即时小练 练3.已知，，则在方向上的投影向量是？ 解：向量在向量上的投影为 所以向量在向量上的投影向量为： 为向量的单位向量，即 所以向量在向量上的投影向量为：= = = 三、课堂小结 1、向量的夹角 2、向量的数量积 3.投影向量 定义：作 ， ,则叫做向量与的夹角. 注意：①向量的夹角是两向量共起点时所夹的角 ②向量夹角范围是 我们把数量叫做向量的数量积（或内积） O θ M1 叫做向量在向量上的投影向量 对于任意