压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

压轴大题14 披荆斩棘搞定导数综合问题 压轴秘籍 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 常用函数不等式： ①，其加强不等式； ②，其加强不等式. ③，， 放缩 ， 5. 利用导数证明不等式问题： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 压轴训练 一、解答题 1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，. (1)当时，证明：在上恒成立； (2)判断函数的零点个数. 2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的零点分别为，且，证明：． 3．（2023·江苏常州·校考一模）已知函数. (1)若，求的值； (2)证明：当时，成立. 4．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 5．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数有两个零点． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)若对任意，求的取值范围． 6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知函数，，且在上的极大值为1． (1)求实数的值； (2)若，，，求的值． 7．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数，其中e是自然常数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 8．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求整数a的最大值． 9．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知函数，. (1)若与的图象恰好相切，求实数a的值； (2)设函数的两个不同极值点分别为，（）. （i）求实数a的取值范围； （ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数） 10．（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知函数. (1)若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围； (2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围. 11．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）已知函数． (1)若，，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围． 12．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知函数在点处的切线方程为． (1)求函数在上的单调区间； (2)当时，是否存在实数m使得恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由（附：，）． 13．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，函数在上是增函数，求a的最大整数值． 14．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 15．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设，，． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，． 16．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒