压轴大题13 直曲结合解决圆锥曲线综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

压轴大题13 直曲结合解决圆锥曲线综合问题 压轴秘籍 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为: 3. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 压轴训练 一、解答题 1．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知椭圆E：，椭圆上有四个动点A，B，C，D，，AD与BC相交于P点.如图所示.    (1)当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由； (2)若点P的坐标为，求直线AB的斜率. 2．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，过右焦点且平行于轴的弦． (1)求的内心坐标； (2)是否存在定点，使过点的直线交于，交于点，且满足？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知，为双曲线C的焦点，点在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，是否存在定点T，使得|QT|为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由. 4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知双曲线，在双曲线的右支上存在不同于点的两点，，记直线的斜率分别为，且，，成等差数列． (1)求的取值范围； (2)若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 5．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，，上顶点为，坐标原点到直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)过A点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 6．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线上的点到焦点的距离的5. (1)求抛物线方程及点的坐标. (2)过点的直线交于两点，延长，分别交抛物线于两点.令，，，，求的最小值. 7．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点. (1)求动点的轨迹方程； (2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似，且焦点在同一条直线上，曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线，切点分别为，这两条切线分别与曲线交于点（异于点），证明：. 8．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）已知双曲线． (1)求C的右支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数． (2)记C的左、右顶点分别为，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上． 9．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程. 10．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知椭圆E：，四点，，，中恰有三点在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程； (2)点P为椭圆E上的一动点，设直线PA，PB的斜率分别为，. ①求的值； ②若不与坐标轴垂直的直线l交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点，，，求的面积. 11．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．