6.2.3 平面向量的坐标及其运算第1课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.2.3 平面向量的坐标及其运算 第 1 课时 新授课 1. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1：平面向量的坐标 （1）向量的垂直：平面上两个非零向量 ，，若它们所在的直线互相垂直，则称向量 与 垂直，记作 ⊥ ； 规定：零向量与任意向量都垂直． 概念讲解 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 1：如图所示，已知 ， 是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的向量 与 都用 ， 表示. a b = 2 + 2； = 3 – 2； 新课讲授 学习目标 课堂总结 （2）向量的正交分解：如果平面向量的基底 {，}中， ⊥ ，则称这组基底为正交基底，在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． 概念讲解 a b （3）向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量，，对于平面内向量，若 = x + y，则称 (x，y) 为向量 的坐标，记作 = (x，y)． = (2，2) = (3，– 2) 新课讲授 学习目标 课堂总结 向量的坐标的直观理解： 如图所示，平面上指定一点 O 作为原点，以 的方向为 x 轴的正方向，以 的方向为 y 轴的正方向，以 (或 ) 的模为单位长度建立平面直角坐标系. x y a b O = (4，2)， (–3，–1)； (1，0)， (0，1). 新课讲授 学习目标 课堂总结 平面向量基本定理 正交分解 单位正交基底 将向量用单位向量， 表示出来 将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标 归纳小结 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：如图所示，求出直线上向量 ， 的坐标. 解：因为 的始点在原点，因此由 的终点坐标可知 = (5，– 1)； 又因为 = – 4 + ，所以 =(– 4，1). x y a b O 注：平面直角坐标系中已默认指定了单位向量 ， . 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2：平面上向量的运算与坐标的关系 问题 2：已知向量 = (x1，y1)， = (x2，y2)，即 = x1 + y1， = x2 + y2，说说当向量 ， 的坐标满足什么条件时 = ？ 解：当向量 = 的时，有 x1 + y1 = x2 + y2， 因为 ， 是相互垂直的的单位向量，所以 x1 = x2 且 y1 = y2； 反之，结论也成立. 综上所述，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：已知向量 = (x1，y1)， = (x2，y2)，用向量 ， 的坐标分别表示 + ，u + v，u – v （ u，v 是两个实数）. 解： + = (x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + x2，y1 + y2)； 同理可得：u + v = (ux1 + vx2，uy1 + vy2)； u – v = (ux1 – vx2，uy1 – vy2) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2 ：已知向量 = (– 2，3)， = (3，–3)，求下列向量的坐标. （1） + ； （2）2 – 5； （3） . 解：（1） + = (– 2，3) + (3，–3) = (– 2 + 3，3 – 3) = (1，0)； （2）2 – 5 = 2(– 2，3) – 5(3，–3) = (– 4，6) – (15，–15) = (– 19，21)； （3） = (3，–3) = (1，–1). 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 4：已知向量 = (x，y)，求向量 的模. 当 与 ， 都不共线时，若 的始点在原点，则过 的终点分别作 x 轴与 y 轴的垂线，可以构造出一个边长分别为 |x| 与 |y| 的矩形，而 || 正好等于矩形的对角线长，因此 || = . 当 与 或 共线时，上述结论显然也成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3 ：已知 = (，1)， = (–2，2)，求 ||，||. 解：由已知可得：|| = = 2，|| = = = 4 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 要点概括整理 平面向量 正交分解、坐标表示 加、减与数乘向量运算 新课讲授 课堂总结 学