7.3.1 正弦函数的性质与图像 第1课时课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3.1 正弦函数的性质与图像 第 1 课时 新授课 1. 了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2. 利用正弦线理解正弦函数的性质； 3. 掌握正弦函数的性质及其应用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 O P x T 问题 1：如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系. 设 O 到地面的高 OT 为 l m，点 P 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 r m，记以 OP 为终边的角为 x rad，点 P 离地面的高度为 y m，那么 y 是 x 的函数吗？请说明理由. M 知识点 1 ：正弦函数的概念 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念讲解 对于任意一个角 x，都有唯一确定的正弦 sin x 与之对应，因此 y = sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 用正弦线可以直观地表示正弦函数地函数值， 如图， 就是角 x 的正弦线. O P x 1 M 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如图，请利用正弦线探究函数 y = sin x 的定义域和值域. 知识点 2 ：正弦函数的性质 O P x 1 M ∵任意角都有正弦，∴ y = sin x 的定义域为 R； ∵图中的正弦线 的长度最大是 1，最小是 0； ∴ y = sin x 的值域为 [-1，1]，而且 当且仅当 时，函数 y = sin x 的最大值 ymax = 1； 当且仅当 时，函数 y = sin x 的最大值 ymin = – 1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：已知 ，，求 t 的取值范围. 典例剖析 解：∵ – 1 ≤ sin x ≤ 1，∴ – 1 ≤ t – 3 ≤ 1，解得 2 ≤ t ≤ 4. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：探究函数 y = sin x 的奇偶性与周期性. 奇偶性：由诱导公式 sin (– x) = – sin x，可知，正弦函数 y = sin x 是奇函数，其图像关于原点中心对称； 周期性：由诱导公式 sin (x + k·2π) = sin x ( k∈Z ) 可知，当自变量 x 的值每增加或减少 2π 的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性. 新课讲授 学习目标 课堂总结 周期函数 根据上述定义可知：在 (k∈Z，k ≠ 0) 中，最小的正数为2π；因此正弦函数 y = sin x 的最小正周期是 2π. 周期函数 f ( x +T ) = f (x) 周期 所有周期中存在的最小正数，即是 的最小正周期. 概念讲解 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：求下列函数的周期：（注：如无特殊说明，均为求最小正周期）. （1）y = 3sinx，x∈R； （2）y = cos 2x，x∈R； （3）y = 2 sin ( )； 提示：f ( x +T ) = f (x). 解：（1）任意 x∈R，有 3 sin⁡ ( 𝑥 + 2π ) = 3 sin 𝑥， 由周期函数的定义可知，y = 3sinx，x∈R 的最小正周期为 2π ； （2）令 z = 2x，由 x∈R，得 z∈R，且 y = cos z 的周期为2π； ∵ cos ( z + 2π ) = cosz，∴ cos ( 2x + 2π ) = cos 2x， ∴ cos 2( x + π ) = cos 2x，x∈R，由周期函数定义知，y = cos 2x的周期为 π . 典例剖析 新课讲授 学习目标 课堂总结 （3）求函数y = 2 sin ( ) 的周期； 提示：f ( x +T ) = f (x). （3）令 z = ，由 x∈R，得 z∈R，且 y = 2sin z 的周期为即周期为2π； 即：2sin ( z + 2π ) = 2sin z，∴ 2sin [ ] = 2sin ( )， ∴ 2sin [ ] = 2sin ( )； 由周期函数的定义知，原函数的周期为 4π . 思考：仔细观察，说说为何 3 sin⁡ ( 𝑥 + 2π ) = 3 sin 𝑥 的最小正周期为 2π，而cos ( 2x + 2π ) = cos 2x 和 2sin [ ] = 2sin () 却不是 2π？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 对周期函数中“周期” 理解 总结归纳 ① 自变量 x 本身加的常数才是最小正周期；即 f (2x + T ) = f (2x) 中 T 不是最小正周期；如：f (2x + T ) = f [ 2(x + ) ] = f (2x) ，即 才是最小正周期. ② 周期函数的周期不唯一；若 T 是函数 f (x) 的最小正周期，则 kT (k∈Z 且 k ≠ 0) 也