第五章 工程问题的应用 讲义 2023-2024学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 第三讲 一元一次方程的应用——工程问题 利用一元一次方程解决实际问题的思路： I. 设未知数为x； II. 用代数式表示题目中全部数量关系； III. 确定实际问题的等量关系； IV. 根据等量关系列一元一次方程并求解。 解题思路： （1）工程问题是典型的型数量关系，可以知二求一。三个基本量及其关系为： 工作总量＝工作效率×工作时间 工作时间＝ 工作效率＝ 工作总量往往在题目条件中不会直接出现，我们可以设工作问题为单位1 （2）配套问题，实质是在工程问题上添加了一个和关系或倍关系。解题的关键是利用该和关系或倍关系以一个未知数表示两个数量关系。 （3）方案选择问题，实质是不同方案之间的比较。解题的关键是先确定题目中方案的个数，再将不同方案用不同的代数式表示，依等量关系列出一元一次方程。 （4）鸡兔同笼问题，解题的关键是鸡、兔每只1头，而鸡每只2脚，兔每只4脚。在前述数量关系中寻找等量关系。 （5）、日历问题，实质是根据日历的使用习惯，每行相邻两数相差1，每列相邻两数相差7，每个月的日期和星期并不一定相同。 （6）比赛积分问题，实质是比赛得失分的积分规则，关键把握比赛场次（或数量）的不变性。 知识点一 工程问题 例1． （2023七上石家庄期末）某工程，甲独做需要12天完成，乙独做需要8天完成，该工程要在规定时间内完成，现由甲先做2天，乙再参与合做，正好如期完成，求这项工程规定的完成时间。该完成此项工程用了x天，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】 设完成此项工程用了x天。 则根据题意可得，甲独做工程用12天，每天的工程量为，乙独做工程用8天，每天的工程量为，甲先做2天的工程量为，此时剩余工程量为，甲、乙两合做后每天的工程量为。 ∵甲的工作总量为，乙的工作总量为 ∴ 所以，A项符合题意 根据题意还可以列方程： 或者： 习 题 1. 一件工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要多少天才能完成该工程？ 2. 将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独需要30分钟，剩下的部分由甲、乙合作完成，则甲、乙合作需要多少时间？ 3. 有9人10天完成了一件工作的一半，而剩下的工作要在6天内完成，则需要增加的人数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 满池水的游泳池需要换水，单独打开甲管30小时可将全池水排完，单独打开乙管20小时可将全池水排完，若两管同时打开3小时后，关闭甲管让乙管排水3小时，再打开甲管同时关闭乙管，几小时后可将余下水放完？ 【答案】 1. 7天 2. 分钟 3. C 4. 18小时 知识点二 配套问题 例1. 某丝巾厂家70名工人义务承接了上海进博会上志愿者佩戴的手环、丝巾的制作任务，已知1名工人平均每天生产手环180个或者丝巾120条，一条丝巾要配两个手环，为了使每天生产的丝巾和手环刚好配套，应当分配多少名工人生产手环，多少名工人生产丝巾？ 【解析】 设应当由x名工人生产手环，则有名工人生产丝巾。 根据题意可得，手环生产效率180个/人/天，每天生产手环，丝巾生产效率120条/人/天，每天生产丝巾，。 ∴ （人） 所以，由40人生产手环，由30人生产丝巾 习 题 1. 一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1立方米钢材可做40个A部件或者240个B部件。现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材制作A部件，才能使生产A、B刚好配套？恰好配成这种仪器多少套？ 2. 某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个。 （1）该工厂有男工、女工各多少人？ （2）该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 3. 某车间有62个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件23个。已知每3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 4. 七年级的同学去植树，在甲处植树有27人，在乙处植树有19人，现在另调20人加入他们。使得在甲处植树的人数是在乙处植树