预习05讲 平面向量基本定理（精讲+精练）2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习05讲 平面向量基本定理（精讲+精练） ①基底的概念及辨析 ②用基底表示向量 ③平面向量基本定理中的参数问题 ④平面向量基本定理的综合应用 一、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. （2）对平面向量基本定理的理解 ①这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. ②对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. ③同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. ④这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 二、平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线； 当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 题型一：基底的概念及辨析 策略方法 对基底的理解 两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基底,若不共线,则可作基底. 【题型精练】 一、单选题 1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知向量与不平行，记，，若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．已知向量、不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 4．已知为平面内所有向量的一组基底，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 5．设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 6．若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 题型二：用基底表示向量 策略方法 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 【题型精练】 一、单选题 1．在梯形中，设，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点．若，则（    ）    A． B． C． D． 3．在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 5．在中，是边上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点E为平行四边形对角线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，，线段与交于点，记，则（    ） A． B． C． D． 10．在菱形ABCD中，，向量与向量的夹角为，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则 . 12．已知中，D为的中点，，若，则 . 13．在△ABC中，，用，表示 ． 14．在平行四边形ABCD中，点P满足，若，则的值是 ． 四、解答题 15．如图，在梯形中，，分别是的中点，与相交于点，设.      (1)用表示； (2)用表示. 16．如图，在中，，E是AD的中点，设，．    (1)试用，表示，； (2)若，与的夹角为，求． 17．在中，为线段上一点，则. (1)若，求，的值 (2)若，，，且与的夹角为60°，求的值. 18．在中，已知在线段上，且，设． (1)用向量表示； (2)若，求． 题型三：平面向量基本定理中的参数问题 策略方法 若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得. 【题型精练】 一、单选题 1．在中，是边上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形中，，若，则（    ） A． B