专题05 平方差公式、完全平方公式（4个知识点+方法练+创新练+成果练）2024年七年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

专题05 平方差公式、完全平方公式（4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.平方差公式（重点） 知识点2.平方差公式的验证（难点） 知识点3.完全平方公式（重点） 知识点4.完全平方公式的应用（重点） 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.平方差公式（重点） 平方差公式：  a2－b2＝ （a＋b）（a－b） 【例1】式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式】下列算式能用平方差公式计算的是（       ） A． B． C． D． 知识点2.平方差公式的验证（难点） 用面积法验证平方差公式 【例2】如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【变式1】如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：______； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，则______； ②计算：． 【变式2】（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． （1）图1，阴影面积是 ； （2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： 知识点3.完全平方公式（重点） 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2        a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【例3】（1）已知：，求的值； （2）已知，求的值． 【变式】运用完全平方公式计算： 知识点4.完全平方公式的应用（重点） 运用完全平方公式的步骤： （I)确定两数，即确定谁相当于公式中的a,谁相当于公式中的b; （2)再看好是两数和，还是两数差; （3) 选用公式写出结果， 【例4】（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【变式】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片 张，B号卡片 张，C号卡片 张． (2)观察图2的面积关系，写出正确的等式 ． (3)两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中阴影部分面积和． 【方法练】 1．操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 2．从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．     B． C． (2)若，求的值； 3．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形． (1)对于图2整体大正方形的面积，可以用两种方法表示： 方法一：按照正方形面积公式表示为 ； 方法二：按照四个小长方形面积+阴影正方形面积表示为 ，则根据面积相等，可得等式 ； (2)若，，求． 4．我们知道：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，已知图1可以得到，请解答下列问题： (1)直接写出图2所表示的数学等式 ． (2)利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若，，则 ． (3)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，例如：，，，因此4、12、20都是“神秘数”，那么（2）问中得出的数是“神秘数”吗？为什么？ (4)某同学用图3