3.1.1椭圆及其标准方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课 题： 3.1.1椭圆及其标准方程1 课型： 新授课 课程标准： 理解椭圆的定义及其标准方程 学科素养： 数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模 重 点： 椭圆的定义、椭圆的标准方程 难 点： 运用标准方程解决相关问题 教学过程： 1、 情境导学 椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。 二、探究新知 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点 ，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距． 常数(大于|F1F2|) ;两个定点 ;两焦点间的距离 ;一半 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 练习：学导71页左1,2题 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的 动点P满足，=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为（ ,0） =2. ① ①，我们将其左边一个根式移到右边，得得 对方程两边平方，得= 整理，得= ③ 对方程③两边平方，得= 整理得 ④ 将方程④两边同除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知>>0 ，即>>0，所以. 观察图，你能从中找出表示，的线段吗？ 由图可知，=，=c 令,那么方程⑤就是； (>>0) ⑥ 称焦点在轴上的椭圆方程. 设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时： （1）椭圆焦点的坐标分别是什么？ （2）能否通过 (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式？ (>>0),称焦点在轴上的椭圆方程. 2．椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 a2 (x2)＋b2 (y2)＝1 (a＞b＞0) a2 (y2)＋b2 (x2)＝1 (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 思考1：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示] a，b的值及焦点所在的位置． 思考2：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？ [提示] 把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上． 例1. 课本107页例1 练习：课本109页练习1,2,3 补充：求经过点两点的椭圆的标准方程 利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)． 三、课堂小结： 1. 平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在． 2.求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”． 3.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny