8.3 简单几何体的表面积与体积 专题讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 §8.3简单几何体的表面积与体积 几何体 表面积 体积 说明 图示 柱体 棱柱 S棱柱＝S侧＋2S底 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 锥体 棱锥 S棱锥＝S侧＋S底 V棱锥＝Sh S为棱锥的底面积，h为棱锥的高 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l) V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 台体 棱台 S棱台＝S侧＋S上底＋S下底 V棱台＝(S′＋＋S)h S′，S分别为棱台的上、下底面面积， h为棱台的高 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V圆台＝(S＋＋)h ＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′， 下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 球体 S球＝4πR2 V球＝πR3 R为球的半径 题型一：几何体的表面积和体积 【典例】1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 . 3．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 6．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【方法总结】求几何体体积的常用方法：①公式法：直接代入公式求解；②等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等；④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积. 7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ） A． B． C． D． 8．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 题型二：内切球、外接球问题 【典例】1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.球的截面问题： 如图，设小圆的圆心为o′，半径为r，球的球心为o，半径为R， 则①oo′⊥圆面o′；②R2＝r2＋oo′2. 2.（1）球与多面体：①多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等(球半径)；②多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等(球半径)（2）球与旋转体：①旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球截面；球心在旋转轴上．②旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上． 2．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$第八章 立体几何初步 §8.3简单几何体的表面积与体积 几何体 表面积 体积 说明 图示 柱体 棱柱 S棱柱＝S侧＋2S底 V棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h为棱柱的高 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l) V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h