2023 年 中考数学二轮复习考点精讲精练（山东专用）突破05 一元二次方程

突破05 一元二次方程 考点精讲 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右，预计2023年各地中考还将继续考查上述的几个题型，为避免丢分,学生应扎实掌握。 考点解读 考点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 1. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1. 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 解一元二次方程时，注意观察， 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6. 考点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3.根的判别式 (1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根． 例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根. *4.根与系数的关系 （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数式的常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0. 考点三 ：一元二次方程的应用 4.列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 考点突破 1．（2021秋•巨野县期末）下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C．﹣ D． 2．（2021秋•钢城区期末）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣1 B．x≠﹣1 C．x≠0 D．x＞﹣1 3．（2021秋•沂水县期末）若分式的值为0，则x＝（　　） A．0 B． C．2 D．7 4．（2021秋•临邑县期末）已知x﹣3y＝0（x≠0），则分式的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 5．（2021秋•汕尾期末）下列式子是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x﹣3 B．x2+1＝y C．5﹣x（x﹣1）＝5 D．2x﹣1＝0 6．（2021秋•阳东区期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（　　） A．1 B．1或2 C．2 D．±1 7．（2021秋•兰山区期末）已知a是方程x2﹣2022x+1＝0的一个根，则a2﹣2021a+的值为（　　） A． B．2022 C．2021 D．无法计算 8．（2020秋•罗湖区校级期中）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它本身，则这个数是正数．④16的平方根是±4，用式子表示是＝±4；其中错误的是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3