4.3.3 余角和补角题型归纳 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学上册

七年级数学上期末培优专题复习 专题十九 余角和补角题型归纳 一、余角和补角1 2 3 4 1.余角和补角概念 两个角的和等于90°，这两个角互为余角。 两个角的和等于180°，这两个角互为补角。 2.余角和补角性质 同角（或等角）的余角相等， 同角（或等角）的补角相等 2、 余角和补角的题型归纳 类型一、求一个角的余角 【例1-1】如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD＝90°． （1）图中∠COD的余角是　 　； （2）如果∠COD＝24°45′，求∠BOD的度数． 【例1-2】．已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝25°．求∠AOC的度数． 针对练习1 1．已知∠α＝37°45′，则∠α的余角等于 　 　． 2．若∠A的余角为22°37'，则∠A的大小为 　 　． ． 类型二、求一个角的补角 【例2-1】如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （Ⅰ）求∠DOE的大小； （Ⅱ）图中与∠COE互补的角是 　 　；与∠AOE互补的角是 　 　； （Ⅲ）图中与∠BOE互余的角是 　 ． 【例2-2】．在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点O，∠AOB＝∠D＝90°，∠COD＝60°． （1）如图1，当OB与OC重合时，写出图中互补的角（写出三对即可）． （2）绕着点O转动三角板COD（两个三角板有重叠），∠AOD+∠BOC的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由． （3）在（2）的条件下，当∠AOC＝3∠BOD时，求∠BOD的度数． 针对练习2 1．已知一个角的补角是它的5倍，求这个角的余角． 2．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，求这个角的度数． 3．如图，已知∠AOB的补角等于它的余角的10倍． （1）求∠AOB的度数； （2）若OD平分∠BOC，∠AOC＝3∠BOD，求∠AOD的度数． 类型三、与余角、补角有关的计算 【例3-1】如图，∠AOB＝∠COD＝90°， （1）指出图中以点O为顶点的角中，互为补角的角并说明理由． （2）若∠COB＝∠AOD，求∠AOD的度数． 【例3-2】如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°，OF⊥AB． （1）写出图中任意一对互余的角和一对互补的角：互余的角是　 　；互补的角是　 ； （2）求∠EOF的度数． 针对练习3 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出图中所有与∠AOD互补的角； （2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数． 2．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角． 3．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处． （1）将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，如图1所示，则∠COE的度数为 　，其补角的度数为 　 　； （2）将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数； （3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由； （4）将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数． 类型四、余角、补角的性质的应用 【例4-1】如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的少10°． （1）求∠BOC的度数； （2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间． （3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角） 【例4-2】如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个角的反余角．例如：∠1＝120°，∠2＝30°．∠1﹣∠2＝90°，则∠1和∠2互为反余角，其中∠1是∠2的反余角，∠2也是∠1的反余角． （1）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°＝∠DOE，∠AOE的反余角是　 　，则∠BOE的反余角是　 　． （2）若一个角的反余角是它的补角的，求这个角的度数． 针对练习4 1．如图，点O是直线AB上一点，OC为任一条射