第09讲 三角形的中位线（6大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第09讲 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线（任意一个三角形都有三条中位线）． 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC. 证明：（方法1）如图（1）所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF. ∵ ∠AED＝∠CEF，AE＝CE， ∴ △ADE≌△CFE， ∴ ∠ADE＝∠F，AD＝CF. ∴ AD∥CF. ∵ D为AB的中点，∴ BD∥ CF. ∴ 四边形BCFD是平行四边形，∴ DF∥BC. ∵ DE＝DF， ∴ DE∥BC且DE＝BC. 　　 （1）　　　　　　（2） （方法2）如图（2）所示，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，CD和AF. ∵ AE＝EC，DE＝EF， ∴ 四边形ADCF是平行四边形，∴ CF∥AD. ∵ D是AB的中点，∴ CF∥BD. ∴ 四边形DBCF是平行四边形，∴ DF∥BC. ∵ DE＝DF， ∴ DE∥BC且DE＝BC. 三角形的中位线： （1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据． （2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段． （3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点． 考点剖析 考点一、利用三角形的中位线求线段长度 【例1】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点是的中点，若，则的长为(   )    A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】如图，为了测量一块不规则绿地，两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点，然后测量出，的中点，，如果测量出，两点间的距离是，那么绿地、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 考点二、利用三角形的中位线求角 【例2】如图，四边形中，，E，F，G分别是的中点，若，，则 ． 【变式2】如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，则的度数是 .    考点三、利用三角形的中位线求周长 【例3】如图，已知的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，……，则第个三角形的周长为    【变式3】如图，在中，，，，点，，分别是的三边，，的中点，则的周长为（    ）    A．12 B．11 C．10 D．9 考点四、利用三角形的中位线求面积 【例4】如图所示，在中，是边上任一点，分别是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为（    ） A．32 B．48 C．64 D．72 【变式4】如图，在中，分别是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 考点五、三角形的中位线有关计算与证明 【例5】如图，中，中线相交于O．F、G分别为的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积为12，求四边形的面积． 【变式5】如图，等边三角形ABC的边长为，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD，EF，DE． (1)求证：DE＝CF； (2)求EF的长． 考点六、利用三角形的中位线判断线段关系 【例6】如图，于点于点，连接分别为的中点，连接．    (1)求证：． (2)猜想线段之间的数量关系并证明． 【变式6】如图，的中线、相交于点，、分别是、的中点，线段与之间有什么关系？为什么？    过关检测 一、单选题 1．中，D、E分别是的中点，，，，则（ ）    A． B． C． D．不确定 2．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（    ）    A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m 3．如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 4．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．不确定 5．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．如图，在四边形中，，，E，F，M分别为边，和对角线的中点．连接，，则 ． 7．如图，在中，点M，N分别是AB，AC的中点，点P，Q分别是AM，AN的中点，