第09讲 离散型随机变量及其分布列-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第09讲 离散型随机变量及其分布列 【人教A版2019】 ·模块一 离散型随机变量及其分布列 ·模块二 两点分布 ·模块三 课后作业 模块一 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 【考点1 离散型随机变量】 【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例1.2】（2023下·高二课时练习）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 【变式1.1】（2023下·高二课时练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性 【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【考点2  求离散型随机变量的分布列】 【例2.1】（2023下·河南新乡·高二统考期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【例2.2】（2023·全国·高三对口高考）下列表中能成为随机变量的分布列的是（    ） A． －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B． 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C． －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D． 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 【变式2.1】（2023·全国·高二课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下： 分数 0 1 2 3 4 5 人数 0 1 3 12 20 4 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列． 【变式2.2】（2023上·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【考点3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3.1】（2023下·安徽滁州·高二校考阶段练习）若随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023下·福建福州·高二校联考期中）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3.