第08讲 条件概率与全概率公式-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第08讲 条件概率与全概率公式 【人教A版2019】 ·模块一 条件概率 ·模块二 全概率公式 ·模块三 课后作业 模块一 条件概率 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 【考点1 条件概率的计算】 【例1.1】（2023·全国·模拟预测）为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023上·全国·高三专题练习）逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点2  概率的乘法公式的运用】 【例2.1】（2023·江苏·高二专题练习）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023上·高二课时练习）已知，，则（    ） A．0.02 B．0.03 C．0.04 D．0.05 【变式2.1】（2023上·辽宁·高二校考期末）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023下·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知则（    ） A． B． C． D． 模块二 全概率公式 1．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 2．贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 【考点1   利用全概率公式求概率】 【例1.1】（2023·全国·模拟预测）某部门对一家食品店的奶类饮品和面包类食品进行质检，已知该食品店中奶类饮品占，面包类食品占，奶类饮品不合格的概率为0.02，面包类食品不合格的概率为0.01．现从该食品店随机抽检一件商品，则该商品不合格的概率为（    ） A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015 【例1.2】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为 ，周二去味园的概率为 ，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）重庆某高校有橘园､桃园､李园3