期末复习专题36 指对幂函数的图像与性质（知识点梳理+高频考点）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

期末复习专题36 指对幂函数的图像与性质（知识点梳理+高频考点）指对幂函数的图像与性质 考点一：指对幂的计算 考点十：指对幂（型）函数的综合应用 指对幂函数的运算公式 对数函数图像与性质 指数函数的图像与性质 幂函数图像与性质 考点七：利用指对幂（型）函数的单调性比较大小 考点八：对幂（型）函数的奇偶性求值、求参数和解析式 考点九：指对幂（型）函数的单调性、奇偶性解不等式 考点二：求指对幂（型）函数的定义域 考点三：求指对幂（型）函数的值域 考点四：指对幂（型）函数的图像 考点五：求指对幂（型）函数的单调区间 考点六：已知指对幂（型）函数的单调性求参数及范围 一、知识点梳理 知识点一：幂函数图像与性质 （1） 幂函数的定义：形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  （2） 幂函数满足的三个特性： ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. （3）幂函数图像 （4）幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 （5）①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 知识点二：指数函数的图像与性质 （1）指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （3）指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 (4)指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （3）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 （5）解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 知识点三：对数函数图像与性质 （1）对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． （2） 对数函数的特征 ①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 （3）对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 （4）对数函数底数大小关系 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴；如图. 　　　 （5） 反函数的概念及性质 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数； 两个函数互为反函