第十八章 相似形 专题2023-2024学年京改版数学九年级上册复习专题突破之知识梳理

京改版数学 九年级上册 第十八章 相似形 知识梳理 １、四个概念 （１）相似图形：形状相同的图形，叫做相似图形。 相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应边的比叫做相似比。 相似多边形的判定：边数相同，各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似。 （２）位似图形：两个相似图形的对应点连线都交于一点，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 位似多边形的性质：是相似图形，对应点连线都经过位似中心，对应点与位似中心所边的线段之比等于相似比。 位似多边形的判定：是相似图形，对应点连线都交于一点。 （３）比例线段：对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 黄金分割：将一条线段分成长短两条线段，如果短线段与长线段的长度之比等于长线段与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比＝。 （４）中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 重心定理：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的三分之一。 ２、四个规律 （１）比例的基本性质。 如果，那么； 如果，那么； （２）平行线分线段成比例 定理。两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论。平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 （３）相似三角形的判定定理和性质定理 判定定理１：两角分别相等的两个三角形相似； 判定定理２：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 判定定理３：三边成比例的两个三角形相似。 性质定理１：相似三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线的比都等于相似比； 性质定理２：相似三角形周长之比等于相似比； 性质定理３：相似三角形面积之比等于相似比的平方。 （４）图形的变换与坐标变化规律 平移变换规律：沿x轴移动，x坐标改变；沿y轴移动，y坐标改变，向正方向移动为+，向负方向移动为-. 对称变换规律：关于x轴对称，x坐标不变，关于y轴对称，y坐标不变，其余坐标互为相反数。 相似变换规律：x坐标之比和y坐标之比都等于相似比。 基础训练 一、单选题 1．已知a：b=2：3，那么下列等式中成立的是（　　） A．3a=2b B．2a=3b C． D． 2．如图，在中，点、分别为边、的中点，若，则的长度为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 5．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（    ） A．AB2＝BCBD B．AB2＝ACBD C．ACBD＝ABAD D．ABAC＝ADBC 6．如图，△ABO是由△A′B′O经过位似变换得到的，若点P′(m，n)在△A′B′O上，则点P′经过位似变换后的对应点P的坐标为(　　) A．(2m，n) B．(m，n) C．(m，2n) D．(2m，2n) 7．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　) A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(     ) A．1 B．3 C．12－6 D．6－6 9．如图，在钝角三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点，取的中点，的中点，连接，，，下列结论：①；②；③；④.其中正确结论有（    ） A． 个 B．个 C． 个 D．个 二、填空题 10．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝_____m． 11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km. 12．已知，则的值是_____． 13．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图7，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成___________