专题11 离散型随机变量的数字特征（六大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）

专题11 离散型随机变量的数字特征 思维导图 核心考点聚焦 考点一：利用定义求离散型随机变量的均值 考点二：离散型随机变量均值的性质 考点三：离散型随机变量均值的应用 考点四：求离散型随机变量的方差 考点五：方差的性质的应用 考点六：均值与方差的综合应用 1、离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2、两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 3、离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 4、离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 几个常见的结论 （1）． （2）若服从两点分布，则． 考点剖析 考点一：利用定义求离散型随机变量的均值 例1．（2024·广东梅州·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望（    ） A． B．2 C． D．3 例3．（2024·高二课时练习）现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（    ） A．6 B．7.8 C．9 D．12 变式1．（2024·山东滨州·高二统考）已知随机变量X的分布列如下所示，则（    ） X 0 2 4 P m A．2 B．3 C．4 D．5 考点二：离散型随机变量均值的性质 例4．（2024·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）设的分布列如图，又，则 . 1 2 3 4 P a 例5．（2024·高二课时练习）已知随机变量X的概率分布为 X －2 －1 0 1 2 P m 若，且，则 ． 例6．（2024·陕西西安·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ． 0 1 2 3 变式2．（2024·高二课时练习）设离散型随机变量的期望为，则 ． 变式3．（2024·全国·高二随堂练习）设随机变量X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P m n 已知，则 . 考点三：离散型随机变量均值的应用 例7．（2024·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为． (1)求小明恰好套中2次的概率； (2)求的分布列及数学期望． 例8．（2024·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成． (1)求考生甲能通过笔试进入面试的概率； (2)记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望． 例9．（2024·高二课时练习）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的均值． 变式4．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，