专题16.1 二次根式（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.1 二次根式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数. 特别提醒 1.被开方数a可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式子. 2.二次根号是一种形式定义，即式子中必须含有“”. 3.形如（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系，要注意当b是假分数时不能写成带分数，例如：可以写成，但不能写成 . 【知识点二】使用二次根式有意义的条件 在二次根式 中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时， 有意义，当a＜0时， 无意义. 特别提醒 二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是： 1. 一个实数的绝对值，即 2. 一个实数的偶次方（主要是二次方），即a²等. 3. 一个实数的算术平方根（即二次根号）. 【知识点三】二次根式的性质 性质 文字语言 应用 一个非负数的算术平方根是非负数 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数的本身 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 【考点目录】 【考点1】二次根式有意义的条件； 【考点2】二次根式➼求值（参数）； 【考点3】二次根式性质➼求值与化简；【考点4】复合二次根式➼求值与化简； 【考点一】二次根式有意义的条件 【例1】（2022下·八年级课时练习）求下列二次根式中字母a的取值范围． （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）a可取任何实数；（4） 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件求解即可； （3）根据二次根式有意义的条件和平方的非负性求解即可； （4）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可． 解：（1）∵有意义， ∴， 解得：； （2）∵有意义， ∴， 解得：； （3）∵有意义， ∴． ∵， ∴，必成立， ∴a可取任何实数； （4）∵有意义， ∴，且 解得：． 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键． 【变式1】（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如果有意义，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件； 根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可． 解：如果有意义，那么且， 解得：， 故选：B． 【变式2】（2024上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）若实数满足，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及立方根，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，得到的值，再计算的立方根即可． 解：∵根据二次根式有意义的条件，得： 解得，； ∴代入原式， ∴， ∴的立方根为． 故答案：． 【考点二】二次根式➼求值（参数） 【例2】（2020下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）已知满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为0的值后，代入的表达式，求出值，然后将代入所求式子化简整理即可． 解：由题意得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵2的平方根为 ∴ 【点拨】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取值是否符合题意，求平方根时注意平方根有两个． 【变式1】（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）已知，则以下对的估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式大小的估算方法是解题的关键．根据，即可求解． 解：∵，即， ∴，即， 故选：． 【变式2】（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点拨】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 【考点三】二次根式性质➼求值与化简 【例3】（2023上·四川成都·八年级校联考期中）计算： （1）计算：． （2）计算： 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算， （1）先算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减； （2）先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算加减； 熟练掌握各个运算法则和平方差公式是解题的关键． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1】（2022下·辽宁葫