8.4 三元一次方程组的解法教案（表格式）-2023-2024学年人教版数学七年级下册

8.4 三元一次方程组的解法 教学设计 课题 三元一次方程组的解法 授课人 素养目标 1.了解三元一次方程组的概念. 2.会运用“代入”或“加减”对三元一次方程组逐步消元，进而求解. 3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 教学重点 三元一次方程组的解法及“消元”思想. 教学难点 根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，新课导入 设计意图 举实际问题，为引入三元一次方程（组）做准备. 【情境导入】 （教材P103材料）请大家看下面这一问题，小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张. 答：我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方程组，得到上面问题的答案为1元纸币8张，2元纸币2张，5元纸币2张. 观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未知量和三个相等关系.参考二元一次方程组，我们能否把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值呢？ 今天我们将学习如何通过方程来解决此类问题. 【教学建议】 教师引导学生思考两种解法应如何设元和列方程（组），不必写出解方程（组）的过程. 活动二：问题引入，自主探究 设计意图 结合解二元一次方程组的“消元”方法，探索三元一次方程组的解法. 探究点 三元一次方程组的有关概念及解法 问题1对于“活动一”中的问题，请结合已知条件写出相等关系： 答：①1元纸币的数量+2元纸币的数量+5元纸币的数量=12； ②1元纸币的总钱数+2元纸币的总钱数+5元纸币的总钱数=22； ③1元纸币的数量=2元纸币的数量×4. 问题2设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意，可以得到哪三个方程？ 答：x+y+z=12，①x+2y+5z=22，②x=4y.③ 问题3大家知道，方程③是二元一次方程，观察方程①②，结合二元一次方程的定义，方程①②有什么特点？ 答：方程①②中含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1. 概念引入：结合二元一次方程的定义，我们归纳得出：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做三元一次方程. 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 【教学建议】 学生分组讨论合作完成问题，得出三元一次方程（组）的概念，类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性.当三元一次方程组中有且只有一个二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入另两个方程，运用代入法消元， 教学步骤 师生活动 x+y+z=12, ① x+2y+5z=22, ② x=4y.③ 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 问题4这个方程组能用代入法解么？如果能，请写出解题过程.（请学生上台板演） 解：把③分别代入①②，得到关于y，z的二元一次方程组5y+z=12, 6y+5z=22. 解这个方程组，得 y=2, z=2. 把y=2代入③，得x=8. 因此，这个三元一次方程组的解为 x=8,   y=2,    z=2. 问题5类比之前探究二元一次方程组解法时的消元思路，你能否运用加减法得到一个二元一次方程组？请尝试解这个三元一次方程组. 归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样. 例1（教材P104例1）解三元一次方程组 3x+4z=7,①       2x+3y+z=9,②   5x-9y+7z=8.③ 问题1观察方程组中的各个方程的未知数，你有什么发现？ 答：方程①中，不含未知数y；方程②和方程③中，三个未知数均含有. 问题2根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方程组较简便，请写出解答过程. 答：用加减法较简便. 也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数. 教学步骤 师生活动 解：②×3+③，得11x+10z=35.④ 1 与④组成方程组 3x+4z=7, 11x+10z=35. 解这个方程组，得 x=5, z=-2. 把x=5，z=-2代入②，得2×5+3y-2=9，所以y= . 因此，这个三元一次方程组的解为 x=5,   y=,   z=-2. 问题3你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解法进行比较. 解：由①，得x=.④ 把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组 2×+3y+z=9,   9y-5z=13, 5×-9y+7z=8. 整理，得 z-27y=-11. 解这个方程组，得 y