专题13抛物线（2个知识点2个拓展2个突破7种题型4个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题13抛物线（2个知识点2个拓展2个突破7种题型4个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.抛物线的概念 知识点2抛物线的简单几何性质 拓展1.求抛物线的标准方程 拓展2.抛物线焦点线的性质 突破1.与抛物线有关的最值问题 突破2.直线与抛物线的位置关系 【方法二】 实例探索法 题型1.抛物线的定义 题型2.抛物线的标准方程的理解 题型3.抛物线定义的应用之距离转化 题型4.抛物线定义的应用之距离最值 题型5.抛物线性质的应用 题型6.焦点弦的性质 题型7.直线与抛物线的位置关系 【方法三】差异对比法 易错点1.忽视定义中的限制条件而致错 易错点2.忽略方程标准形式的特征而致错 易错点3.忽视点与抛物线的位置关系而致错 易错点4.忽略焦点的位置而致错 【方法五】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.抛物线的概念 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 【例1】．（2023上·北京·高二北京市第三十五中学校考阶段练习）点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点2抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 2.焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p. 3．直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 拓展1.求抛物线的标准方程 【例2】．（2023上·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程． 拓展2.抛物线焦点弦的性质 【例3】．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若点D为抛物线的准线上一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 突破1.与抛物线有关的最值问题 【例4】．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为上一点． (1)若点，求的最小值． (2)若过点作斜率为，的两条直线，，分别与交于点A，B（异于点P），并记的垂心为，是否存在实数，使得点始终在抛物线上？若存在，请求出该实数；若不存在，请说明理由． 突破2.直线与抛物线的位置关系 【例5】．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线在轴上方与抛物线相交于不同的A，B两点，若，则点到抛物线准线的距离为 ． 【方法二】实例探索法 题型1.抛物线的定义 1．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）若抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为． (1)求C的标准方程； (2)若过点的直线l与抛物线C相交于A，B点，证明为定值． 题型2.对抛物线的标准方程的理解 2．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2． (1)求抛物线C的方程； (2)已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值． 题型3.抛物线定义的应用之距离转化 3．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B是抛物