第08讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【寒假预科讲义】2024年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第08讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 平面 ·模块二 空间点、线、面之间的位置关系 ·模块三 课后作业 模块一 平面 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. (3)平面的表示方法 平面一般用希腊字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶 点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 【考点1 平面的基本性质及推论】 【例1.1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）给出下面四个命题： ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面． 其中正确的命题是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【例1.2】（2023下·新疆喀什·高一统考期末）下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．圆心和圆上两点确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面 【变式1.1】（2023下·福建三明·高一统考期中）如图，平面平面，，，，直线（点不同于），过三点确定的平面为，则平面，的交线必过（    ）    A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D 【变式1.2】（2023下·高一课时练习）下列说法正确的是（    ） ①一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内；②一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；③若线段，则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内；④一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【考点2 空间中的点共线问题】 【例2.1】（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（    ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【例2.2】（2023上·安徽合肥·高二校考阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的是（    ） ①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线 A．②③ B．①②③ C．①② D．②③④ 【变式2.1】（2019·全国·高一专题练习）空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（