专题5.1 相交线与垂线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.1 相交线与垂直（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】邻补角与对顶角 1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 要点提醒： (1).邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°． (2).邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角． (3).互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． (4).邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 要点提醒： (1).由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角． (2).对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线. 【知识点二】垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 要点提醒： (1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 要点提醒： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点提醒： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点提醒： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【考点目录】 【考点1】对顶角与邻补角认识； 【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值； 【考点3】垂直定义的理解； 【考点4】作图（画垂线）； 【考点6】点到直线的距离的判定与求值；【考点7】求最值（垂线段最短）. 【考点1】对顶角与邻补角认识； 【例1】（2023下·七年级课时练习）如图，直线相交于点是内部的一条射线． （1）写出和的邻补角； （2）写出图中所有的对顶角． 【答案】（1）的邻补角为的邻补角为 （2）与互为对顶角，与互为对顶角 【解析】略 【变式1】（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列图中，和是对顶角的有（    ）个．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答． 解：根据对顶角的定义： 中和不是对顶角； 中和是对顶角； 中和不是对顶角； 中和不是对顶角； 故选：． 【点拨】此题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【变式2】（2023下·广东中山·七年级校考阶段练习）如图，直线相交于点．的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 或 【分析】根据对顶角定义，结合图形可知的对顶角是；根据邻补角定义，结合图形可知的邻补角是或，从而得到答案． 解：由图可知，的对顶角是；的邻补角是或， 故答案为：；或． 【点拨】本题考查对顶角定义及邻补角定义，熟记对顶角与邻补角定义，结合图形求解是解决问题的关键． 【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值； 【例2】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且． （1）求的度数； （2）若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由． 【答案】（1）；（2）OB是的平分线，理由见分析 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义： （1）由对顶角相