4.8图形的位似讲义2023-2024学年北师大版数学九年级上册

4.8图形的位似 知识梳理 1、位似图形的概念： 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。 2、位似图形的性质： (1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质 (2)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 (3)位似图形中的对应线段平行(或在一条直线上) 【圆的位似(即同心圆)除外】 3、位似图形的画法： (1)画出基本图形 (2)选取位似中心 (3)根据条件确定对应点，并描出对应点 (4)顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形 4、位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k 基础训练 一、单选题 1．在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形番号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，将的三边扩大一倍得到（顶点均在格点上），它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2∶1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 4．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 5．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是(　　) A． B． C． D． 6．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，4）、C（﹣2，1），将△ABC以原点O为位似中心扩大后得到△A′B′C′．若C′点的坐标为（4，﹣2），则A′点坐标为（　　） A．（﹣6，4） B．（6，﹣6） C．（3，﹣2） D．（6，﹣4） 7．如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 8．下列相似图形不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ） A． B． C． D． 10．如图，的面积为9，点在的边上运动.作点关于原点的对称点，再以为边作等边.当点在的边上运动一周时，点随之运动所形成的图形面积为（ ） A．3 B．9 C．27 D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，△与△是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3:2.点的坐标为（3，），则点的坐标是_________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______. 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6．则点C的坐标为__． 15．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的得到，则点A的对应点C的坐标是______． 三、解答题 16．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度． （1）画出向上平移个单位得到的； （2）以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为，并直接写出点的坐标． 17．如图，已知与是位似图形，与是位似图形．求证：． 18．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且∠AED=∠BCF，