专题12双曲线（3个知识点5个拓展2个突破8种题型5个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题12双曲线（3个知识点5个拓展2个突破8种题型5个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.双曲线的定义 知识点2.双曲线的方程 知识点3.双曲线的简单几何性质 拓展1.双曲线定义的应用与推广 拓展2.待定系数法求双曲线的标准方程 拓展3.双曲线焦点三角形的性质 拓展4.双曲线的几何性质的常用结论 拓展5.解有关双曲线离心率的问题 突破1.中点弦问题 突破2.直线与双曲线的位置关系 【方法二】 实例探索法 题型1.双曲线定义的理解 题型2.双曲线方程的求解 题型3.双曲线定义及方程的应用 题型4.双曲线性质（范围、对称性、顶点）的应用 题型5.离心率的值 题型6.离心率的取值范围 题型7.渐近线的方程及应用 题型8.直线与双曲线的位置关系 【方法三】差异对比法 易错点1.忽视双曲线定义中的条件而致错 易错点2.忽略对限制条件的判断而致错 易错点3.直线与双曲线相交忽视特殊情况而致误 易错点4.忽视焦点位置的讨论而致错 易错点5.忽视交点位置的讨论而致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.双曲线的定义 文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 例1．（2023上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点2.双曲线的方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 例2．（2024上·湖北·高二期末）已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线 (1)求曲线E的方程； (2)过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围． 知识点3.双曲线的简单几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝>1 渐近线 y＝±x y＝±x 2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝. 3．直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时 相交 只有一个交点 k≠±且Δ＞0 有两个交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点 k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点 例3．（2023上·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的离心率为 C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线 拓展1.双曲线定义的应用与推广 1．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 拓展2.待定系数法求双曲线的标准方程 2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 拓展3.双曲线焦点三角形的性质 3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，焦距为6，点M在双曲线C上，且，，则双曲线C的实轴长为 ． 4．（2023上·河北石家庄·高二石家庄精英中学校考阶段练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，且，，则双曲线E的离心率为 . 拓展4.双曲线的几何性质的常用结论 5．（2023上·河南周口·高二太康县第一高级中学校联考期中）已知双曲线：的右焦点为，平行四边形的顶点在双曲线上，在平行四边形上，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若平行四边形各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为 D． 拓展5.解有关双曲线离心率的问题 6．（2021上·高二单元测试）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为