8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （第2课时） （教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时） 教学设计 1、 课时教学内容 本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归 分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问 题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式 不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏 差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过 程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线 的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据 处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念 “经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值. 2、 课时教学目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 3、 教学重点、难点 1. 重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2. 难点：求最小二乘估计，残差分析. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 表8.2-3 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐标描出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关．如果是，再利用公式(2)计算出，即可． 解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图，得到图8.2-9． 在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系． 用d表示胸径，表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为 ， 相应的经验回归直线如图8.2-10所示， 根据经验回归方程，由表8.2-3中胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，如表8.2-4所示 表8.2-4 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 1 18.1 18.8 19.35 -0.6 2 20.1 19.2 19.85 -0.7 3 22.2 21.0 20.37 0.6 4 24.4 21.0 20.92 0.1 5 26.0 22.1 21.32 0.8 6 28.3 22.1 21.90 0.2 7 29.6 22.4 22.22 0.2 8 32.4 22.6 22.92 -0.3 9 33.7 23.0 23.24 -0.2 10 35.7 24.3 23.74 0.6 11 38.3 23.9 24.39 -0.5 12 40.2 24.7 24.86 -0.2 以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到图8.2-11. 观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内．可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高． 【师生互动】教师让学生总结建立线性回归模型的一般步骤. 建立线性回归模型的基本步骤： (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量． (2)画出解释变量与响应变量的散点图，观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)． (3)由经验确定回归方程的类型． (4)按一定规则（如最小二乘法）估计经验回归方程中的参数. (5)得出结果后需进行线性回归分析. ①残差平方和越小，模型的拟合效果越好. ②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好. 需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可. 环节二 观察分析，感知概念 问题 人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”．表8.2-5给出了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据，试依据这些成对数据，